Pytanie o egzystencjalne instancje
Miałem problemy ze zrozumieniem egzystencjalnej instancji. Mój podręcznik (Rosen - Discrete Mathematics and its Applications) tak mówi o egzystencjalnej instancji:
Egzystencjalna instancja jest regułą, która pozwala nam stwierdzić, że istnieje element c w dziedzinie, dla której P (c) jest prawdziwe, jeśli wiemy, że ∃xP (x) jest prawdziwe. Nie możemy tutaj wybrać dowolnej wartości c, ale raczej musi to być ac, dla którego P (c) jest prawdziwe. Zwykle nie wiemy, czym jest c, tylko że istnieje. Ponieważ istnieje, możemy nadać mu nazwę (c) i kontynuować naszą dyskusję.
Ma to sens dla niektórych stwierdzeń egzystencjalnych.
Weźmy na przykład pod uwagę stwierdzenie $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x + 1 = 2)$. Jest tylko jedna liczba całkowita, która tworzy funkcję zdaniową ($x + 1 = 2$) prawda (a mianowicie $1$). Dlatego ma dla mnie sens, że nowy symbol$c$ można utworzyć, aby nazwać „jedną liczbę całkowitą, która tworzy $x + 1 = 2$ prawdziwe".
Rozważ jednak stwierdzenie $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Istnieje wiele liczb całkowitych, które tworzą funkcję zdaniową ($x * 0 = 0$) prawda (np. $1$, $2$, $3$).
W tym przypadku, gdy tworzymy nowy symbol $c$, czy ten symbol nazywa „jedną z liczb całkowitych, które tworzą $x * 0 = 0$ prawda ”? Uważam, że jest to nieco niejednoznaczne, więc zastanawiałem się, czy poprawnie rozumiem znaczenie tego symbolu.
Proszę o wyjaśnienie i dziękuję za poświęcony czas.
Odpowiedzi
Rozważ jednak stwierdzenie $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Istnieje wiele liczb całkowitych, które tworzą funkcję zdaniową ($x * 0 = 0$) prawda (np. $1$, $2$, $3$).
W tym przypadku, gdy tworzymy nowy symbol $c$, czy ten symbol nazywa „jedną z liczb całkowitych, które tworzą $x * 0 = 0$ prawdziwe"?
Tak, to jest dokładnie to. Czyli .. mimo że użycie$c$sugeruje, że wiemy dokładnie, o jakim przedmiocie mówimy, w rzeczywistości tak nie jest. Nadal wiemy tylko, że istnieje co najmniej jeden obiekt, który spełnia daną formułę. Ale aby przeprowadzić dalsze rozumowanie, musimy umieć mówić o „jednym z tych obiektów” i do tego ten system używa stałej indywidualnej ... chociaż oczywiście musisz się upewnić, że ta bardzo stała nie został użyty w innym miejscu dowodu już w odniesieniu do innego obiektu.
Należy pamiętać, że istnieją inne systemy formalnego dowodu, których nie używają $c$ w tym przypadku, ale zachowaj zmienną jako zmienną, co ma tę zaletę, że faktycznie nie wiesz, o jakim konkretnym przedmiocie mówisz ... ale wadą jest to, że otrzymujesz teraz linie w dowodzie, że po wzięciu poza kontekstem reszty dowodu miałby zmienną wolną ... i to jest rzeczywiście wystarczająca wada, aby niektórzy ludzie zamiast tego używali stałych.
Czasami myślałem, że być może jednym ze sposobów radzenia sobie z tym wszystkim jest posiadanie trzeciego zestawu sposobów wskazywania obiektów innych niż stałe i zmienne: symbole, których rzeczywiście używałbyś do tej bardzo egzystencjalnej instancji i które oznaczają „jakiś obiekt z pewna własność, chociaż nie wiemy, która z nich, tj. nie jest całkowicie dowolna (jak normalna zmienna), ale także nie jest specyficzna (jak stała). Jednak nigdy nie sądziłem, że systemy formalne robią coś takiego.