Rekonstrukcje grup z kategorii $G-\mathbf{Sets}$; Konstrukcja homomorfizmu grupowego [duplikat]

Dec 30 2020

Próbuję przedstawić dowód następującego stwierdzenia, ale wydaje mi się to trochę trudne. Mam nadzieję, że uzyskam pomoc od kogoś z tej strony. Myślę, że to właśnie dają dowód na Ncatlab - Tannakian Duality (w sekcji$G-\mathbf{Sets}$). Ale tak naprawdę nie mogę podążać za tym dowodem:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Komunikat. Pozwolić$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ być zapominalskim funktorem, gdzie $G-\mathbf{Sets}$ to kategoria zestawów wyposażonych w akcję grupową wykonywaną przez grupę $G$. Próbuję zrozumieć dowód na następujący fakt$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

Co zrobiłem

Udało mi się zbudować mapę $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Dokonano tego zgodnie z następującą zasadą $\varphi(g)=\eta^g$, gdzie $\eta_S^g:S\to S$ jest zdefiniowany przez $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Łatwo jest sprawdzić, czy daje to naturalną transformację z$F$ do $F$ i że jest to również homomorfizm grupowy.

Jednak druga droga jest dla mnie bardziej problematyczna. Chcę znaleźć mapę$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ To znaczy, biorąc pod uwagę naturalną transformację $\eta$, Chcę go przypisać do elementu grupy $g\in G$.

Naturalna przemiana $\eta$ jest zdefiniowany przez następujący diagram przemienny $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ gdzie $\eta_X$ jest morfizmem w $\mathbf{Sets}$ i $f:X \to Y$ jest morfizmem w kategorii $G-\mathbf{Sets}$. Od$F$ jest tylko zapominalskim funktorem, powyższy schemat sprowadza się do $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Obawy i pytania

W definicji naturalnej przemiany - mam to - dałem jakąkolwiek $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$jest morfizmem. Naturalny$G-\text{Set}$ to po prostu wziąć $X=G$ i pozwolić mu działać na siebie poprzez strukturę grupy: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Tak więc diagram przemienny staje się teraz $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Uwaga 1. Pamiętam, że profesor powiedział mi, że morfizm$\eta_G$ jest całkowicie rozumiany przez to, co robi z elementem tożsamości $e\in G$ (z którego powinienem zrozumieć, jak skonstruować homomorfizm grupowy), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Naprawdę nie rozumiem, co to oznacza. Myślę, że coś źle zrozumiałem o zapominalskim funktorze. Kiedy myślę o zapominalskim funktorze$F:A\to B$Myślę, że funktor zapomina o wszystkim, co jest w nim obecne $A$, ale nie jest obecny w $B$. W naszym przypadku zapomina o strukturze działań grupowych. W szczególności nie mogę więc używać właściwości bycia a$G$mapa equivariant. Tylko właściwości bycia mapą teorii zbiorów.

Pytanie 1.

Jeśli $\eta_G(e)=s$i jeśli chciałbym zrozumieć, co powiedział mi profesor, myślę, że rozumowałbym coś w następujący sposób $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$gdzie ja w drugiej równości użyłem własności bycia homomorfizmem grupowym. Ale z drugiej strony, jeśli chcę to potraktować jako grupowy homomorfizm, to myślę, że musiałem to zrobić na początek. To jest,$\eta_G$Muszę odwzorować tożsamości na tożsamości (aby zachować spójność w moim rozumowaniu). Więc myślę, że mój argument zawodzi.

Moje pytanie brzmi: co on ma na myśli?

Nie sądzę, żeby to, co zrobiłem powyżej, miało jakikolwiek sens. Ale myślę, że widziałem innych, którzy używali właściwości morfizmów w tej kategorii$A$, po zastosowaniu zapominalskiego funktora, stąd moje rozumowanie. Po raz kolejny nie jestem pewien, co robię. Więc mogę się bardzo mylić.

Pytanie 2. Jak to mówi mi, gdzie odwzorować naturalną transformację?

Dawać $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, gdzie mam to zmapować? Czy mapuję to w następujący sposób$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Czy robiąc to, wiem, że wyczerpująco powiedziałem, gdzie nanieść mapę każdej naturalnej transformacji?

Pytanie 3. Wydaje mi się, że muszę też w jakiś sposób użyć diagramu przemienności w definicji transformacji naturalnej, kiedy konstruuję homomorfizm grupowy, czego nie zrobiłem? Myślę, że moja sugestia powyżej nie jest właściwym sposobem, aby to zrobić. Czy masz jakieś pomysły, jak mogę zbudować mapę?

Byłbym naprawdę szczęśliwy, że mógłbym otrzymać pomoc od kogoś z tej strony, aby lepiej to zrozumieć. Ponieważ jestem naprawdę zagubiony i zdezorientowany.

Wszystkiego najlepszego,

Joel

Odpowiedzi

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Mam zamiar użyć lewej strony $G$-sets, nie w porządku.

Pytanie 1 i 3 .

Nie możesz pisać $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, nie zakładamy $\eta_G:G\to G$ jest homomorfizmem grupowym, tyle że jest morfizmem $G$-zestawy. Możesz to wykorzystać, aby powiedzieć$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ choć (co byś odwrócił kolejność, jeśli nalegasz na właściwe działania grupowe).

Rozważ ponownie diagram przemienny:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Tutaj możemy pozwolić mapie $G\to Y$ być oceniającym$y$ mapa $g\mapsto gy$ gdzie $y\in Y$ jest ustalona (zwróć uwagę, że mapa oceny jest również przydatna przy ustalaniu twierdzenia o stabilizatorze orbity - jego włókna są cosetsami $y$stabilizator). Następnie ścigamy schemat zaczynając od$e\in G$ w lewym górnym rogu.

Jeśli podążymy prawą górną ścieżką, otrzymamy $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. W lewej dolnej ścieżce$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Dlatego możemy zrównać$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. To znaczy każdy automorfizm$\eta$ zastosowany do $G$-zestaw $Y$ polega po prostu na zastosowaniu określonego elementu grupy $\eta_G(e)\in G$.