Równanie Inviscid Burgers: rysowanie szoku [duplikat]

Dec 01 2020

Rozwiąż równanie Burgersa $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ z $u=u(x,t)$ i stan boczny $u(x,0)=-x$.

Zdaję sobie sprawę, że podobne pytanie z warunkiem początkowym u = x zadawano już wcześniej i zadawałem je, ponieważ zastanawiałem się, jaka byłaby różnica, gdy linie charakterystyczne są ustawione na zbieganie.

Odpowiedzi

3 NinadMunshi Dec 01 2020 at 12:24

Z twierdzenia o funkcji niejawnej mamy następujące

$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$

Innymi słowy, nachylenia charakterystyk zależą od wartości $u$. Z$u=x$widać, że cechy, które zaczynają się od ujemnych $x$ przesuń w lewo (nachylenie ujemne) i odwrotnie, aby uzyskać wartość dodatnią $x$. Czy mógłbyś uzasadnić to zachowanie$u=-x$ zamiast?

Pytanie dodatkowe, technicznie rzecz biorąc, szok w obu sytuacjach może być dowolny, ale jak wybrać rozwiązanie maksymalnej entropii dla obu $u=x$ i $u=-x$ ?