Rozkład rozmaitości topologicznej na zbiory z małowymiarowymi przecięciami

Question

Pozwolić $f:M\rightarrow N$ być funkcją ciągłą między połączonymi rozmaitościami topologicznymi, odpowiednio modelowanymi $\mathbb{R}^m$ i $\mathbb{R}^n$; $n,m\in \mathbb{Z}^+$. Czy zawsze możemy znaleźć okładkę$\{C_i\}_{i \in I}$ z $N$ takie, że:

• $I$ jest skończona,
• Plik $C_i$ są zwykłymi podzbiorami zamkniętymi, tj $\overline{\text{int}(C_i)}=C_i$,
• $\text{int}(C_i)\cong \mathbb{R}^n$,
• $\text{dim}(C_i\cap C_j)<n$? i$C_i\cap C_j$ to jest zestaw Borel?

Gdy $N$ jest kompaktowy, to jasne, ponieważ po prostu pokrywamy $N$z lokalnie euklidesowymi dzielnicami, weź ich zamknięcia i zredukuj do skończonego zestawu za pomocą zwartości. A co w ogóle?

Answer 1

Zignoruję $M$ i $f$ponieważ nie odgrywają żadnej roli w pytaniu. Oto, co wiem o kompaktowej obudowie:

1. Gdyby $N$ dopuszcza triangulację lub, bardziej ogólnie, rozkład uchwytów, a następnie skończony zbiór podzbiorów $C_i$ istnieje.

2. Każda topologiczna rozmaitość wymiarów $\le 3$ przyznaje się do triangulacji.

3. Każda topologiczna rozmaitość wymiarów $> 4$ przyznaje się do rozkładu uchwytów.

Nie wiadomo, czy zwarte topologiczne 4-rozmaitości dopuszczają strukturę kompleksów CW.

Edytować. Właśnie zdałem sobie sprawę, że odpowiedź na twoje pytanie jest pozytywna dla wszystkich połączonych rozmaitości. Nawet dwa podzbiory$C_1, C_2$wystarczy. Jest to zastosowanie twierdzenia Berlanga-Browna, które stwierdza, że ​​każda połączona topologiczna n-rozmaitość zawiera otwarty i gęsty podzbiór homeomorficzny do otwartej n-kuli.

Oto kilka szczegółów:

Berlanga w

R.Berlanga "A mapping theorem for topological sigma-compact manifolds", Compositio Math, 1987, tom. 63, 209-216.

uogólnia wcześniejsze prace Mortona Browna (w przypadku rozmaitości zwartych) dowodzi, że każdy połączony $n$-wymiarowa rozmaitość topologiczna $N$ zawiera otwarty i gęsty podzbiór $U$ homeomorficzny do $R^n$. Rozważę sprawę$n\ge 2$ od czasu sytuacji z $n=1$ jest jasne.

Pozwolić $A:= N - U$. Wybierz sekwencję$x_i\in U$ którego kumulacja się rozpoczęła $N$ równa się $C$. Od$U$ jest homeomorficzny do $R^n$istnieje hiperpowierzchnia $H\subset U$ homeomorficzny do $R^{n-1}$zawierający sekwencję $(x_i)$ i oddzielanie $U$ w dwóch otwartych podzbiorach $V_1, V_2$ każdy homeomorficzny do $R^n$. Potem zamknięcie$C_i$ z $V_i$ w $N$ będzie regularne (patrz poniżej) i skrzyżowanie $B=C_1\cap C_2$ ma puste wnętrze $N$. A zatem,$\dim(B)=n-1$. (Ogólnie każdy zamknięty podzbiór z pustym wnętrzem w pliku$n$- rozdzielacz wymiarowy ma wymiar pokrywający $\le n-1$, to jest twierdzenie Mengera-Urysohna . Ale w naszym przypadku$B$ zawiera $H$, więc $\dim(B)=n-1$.)

Aby zobaczyć prawidłowość $C_i, i=1, 2$ zwróć uwagę, że granica $C_i$ równa się $A\cup H$ i, przez konstrukcję, każdy punkt $A\cup H$ jest punktem granicznym obu $V_1$ i $V_2$. A zatem,$int C_i= V_i$, podczas $C_i=cl(V_i)$, $i=1, 2$.