Różnica pomiędzy $\forall n\in\mathbb N$ i $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Naprawdę zdezorientowany różnicą między $\forall n\in\mathbb N$ i $\bigcap_{i=1}^\infty$.
Zrozumienie analizy cytuję z ćwiczenia 1.2.13. że
Kuszące jest odwołanie się do indukcji, aby zakończyć $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
ale indukcja nie ma tu zastosowania. Indukcja służy do udowodnienia, że dane stwierdzenie zachodzi dla każdej wartości$n\in\mathbb N$, ale nie oznacza to ważności nieskończonego przypadku.
Zrobiłem trochę badań na ten temat przez jakiś czas i zrozumiałem, że ostatecznie fakt, że mogę wskazać plik $n\in\mathbb N$ oznacza, że $n$jest skończona. Dlatego nie może mieć zastosowania w przypadku nieskończonym.
Tak, rozumiem uzasadnienie. Ale jeśli$\forall n \in\mathbb N$ nie działa, więc co działa na udowodnienie nieskończonej wielkości?
Tak jak czuję się komfortowo z powodu różnicy. Książka ponownie wywołuje zamieszanie i cytuję w następujący sposób, mając nadzieję, że uda mi się je jak najkrótsze:
Zagnieżdżona właściwość interwału zakłada, że każdy $I_n$ zawiera $I_{n+1}$. Są zagnieżdżoną sekwencją zamkniętych przedziałów zdefiniowanych jako takie.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
Dowód koncentruje się na znalezieniu jednej liczby rzeczywistej x, która należy do wszystkich $I_n$ i twierdzi, że jest supA.
W dowodzie, powiedział $x\in I_n$, do każdego wyboru $n\in\mathbb N$. W związku z tym,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ a skrzyżowanie nie jest puste.
Daj mi znać, jeśli potrzebne są pominięte szczegóły. Chodzi mi jednak tylko o to:
- Dlaczego w nieskończonej zasadzie de Morgana $\forall n\in\mathbb N$ nie dotyczy $\infty$
- Dlaczego we właściwości zagnieżdżonej interwału $\forall n\in\mathbb N$ dotyczy $\infty$
Odpowiedzi
$\forall n\in\Bbb N$ nigdy nie dotyczy$\infty$, dlatego $\infty$ nie jest elementem $\Bbb N$. W twierdzeniu o zagnieżdżonych przedziałach nie ma $I_\infty$. To, co wiemy, to to$x\in I_n$ dla każdego $n\in\Bbb N$, a więc z definicji $n$ znajduje się na przecięciu zbiorów $I_n$. Możesz nazwać to skrzyżowanie$I_\infty$ gdybyś chciał to zrobić, ale byłby to wybór arbitralny, całkowicie niezależny od argumentu indukcyjnego obejmującego zbiory $I_n$; równie dobrze możesz nazwać to George. (Wiele lat temu mój przyjaciel faktycznie opublikował artykuł o przedmiocie matematycznym, który nazwał George.)
Jeśli chodzi o prawo De Morgana, udowadnia się je dla arbitralnych rodzin zbiorów po prostu pokazując, że każda strona proponowanej tożsamości jest podzbiorem drugiej. Odbywa się to dla arbitralnie indeksowanych rodzin zestawów tutaj i w tej odpowiedzi (i prawdopodobnie również w innych miejscach w MSE). Dowód nie zależy od twierdzenia o skończonych rodzinach zbiorów i nie obejmuje żadnego rodzaju indukcji.
Reguła De Morgana zdarza się działać dla nieskończonych zestawów. Nie można tego jednak udowodnić, odwołując się do skończonej wersji reguły De Morgana, ponieważ indukcja jest narzędziem do udowodnienia, że stwierdzenie jest prawdziwe dla arbitralnie dużej wartości$n$ (ale $n$ jest nadal skończona).
Jeśli chodzi o przecięcie policzalnie nieskończonej liczby zbiorów, wynika to z definicji. Tak mówimy$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ dla wszystkich $n \in \mathbb N$.