Rozwiąż równanie zabijania dla pola wektorowego w $\mathbb{R}^2$ z metryką euklidesową

Question

Wiem, że pole wektorowe $$X = a_1\partial_1 + a_2\partial_2$$ gdzie $a_1,a_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ są gładkie, jest włączone pole śmierci $\mathbb{R}^2$ z metryką euklidesową $dx_1^2 + dx_2^2$.

Muszę rozwiązać równanie zabijania $$\mathcal{L}_X(dx_1^2 + dx_2^2) = 0$$ dla $a_1$ i $a_2$.

Wiem, że muszę użyć definicji pochodnej Liego i znaleźć, że jest równa zero, ale trochę zmagam się z obliczeniami, czy ktoś może mi pomóc?

Zastanawiałem się, czy użyć formuły Cartana, czy to dobre podejście?

Answer 1

Pozwolić $U$,$V$ i $X$ być trzema polami wektorowymi i $g$być metrycznym polem tensora. Następnie \ begin {align} \ left (L_Xg \ right) (U, V) & = X \ cdot g (U, V) - g (L_XU, V) - g (U, L_XV) \\ & = g ( \ nabla_XU, V) + g (U, \ nabla_XV) - g (L_XU, V) -g (U, L_XV) \\ & = g (\ nabla_XU - L_XU, V) + g (U, \ nabla_XV-L_XV) \\ & = g (\ nabla_UX, V) + g (U, \ nabla_VX) \ end {align} Zatem$L_Xg=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego pola wektorowego $U$ i $V$, $$ g(\nabla_UX,V) + g(U,\nabla_VX) = 0 $$ to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy $\nabla X : U \mapsto \nabla_UX$ jest operatorem symetrycznym skośnym.

W tej sprawie $g$ to metryka euklidesowa $\mathbb{R}^2$, każde pole wektorowe $U$ to płynne połączenie $\partial_1$ i $\partial_2$, i $$ L_Xg = 0 \iff g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_1) = 0,~ g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) \text{ and } g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) = -g(\partial_1,\nabla_{\partial_2}X) $$ Jeśli $X = a_1\partial_1 + a_2 \partial_2$, Odwołaj to $\partial_1$ i $\partial_2$ są równoległe do $g$, oraz: \ begin {align} \ nabla _ {\ Partial_1} X & = \ nabla _ {\ Partial_1} \ left (a_1 \ Partial_1 + a_2 \ Partial_2 \ Right) \\ & = (\ Partial_1a_1) \ Partial_1 + (\ Partial_1a_2 ) \ Partial_2 \\ \ nabla _ {\ Partial_2} X & = \ nabla _ {\ Partial_2} \ left (a_1 \ Partial_1 + a_2 \ Partial_2 \ Right) \\ & = (\ Partial_2a_1) \ Partial_1 + (\ Partial_2a_2) \ Partial_2 \ end {align} Stąd,$X$jest polem wektora zabójczego wtedy i tylko wtedy, gdy \ begin {align} \ Partial_1a_1 & = 0, & \ Partial_2a_2 & = 0, & \ Partial_1a_2 & = - \ Partial_2 a_1 \ end {align} Pozwolę ci kontynuować obliczenia.

Ważny komentarz Uważaj na magiczną formułę Cartan. Mówi, że dla formy różniczkowej $\omega$, $L_X \omega = (d\circ i_X + i_X\circ d)\omega$. Tensor na ogół nie jest formą różniczkową. Prosty powód, dla którego nie miałoby to sensu, jest następujący: jak definiujesz$dg$ gdy $g$ to jest tensor metryczny?