rozwiązywanie równania z trygonometrii

Nov 21 2020

Próbuję rozwiązać następujące równanie trygonometryczne:$$\frac{\cot\theta+\csc\theta}{\tan\theta+\sec\theta}=\cot(\pi/4+\theta/2)\cot \theta/2$$ale niestety po dużym wysiłku nie jestem w stanie rozwiązać problemu, myślę, że brakuje mi kilku oczywistych kroków, więc problem się psuje, ale nie byłem w stanie wskazać swojej winy, próbowałem również ją rozwiązać zaczynając od RHS, ale tam też mi się nie udało.

Będę bardzo wdzięczny, jeśli ktoś mi pomoże.

Odpowiedzi

1 ZAhmed Nov 21 2020 at 01:17

$$\frac{\cot \theta+\csc \theta}{\tan \theta+ \sec \theta}= \frac{1+\cos \theta}{1+\sin \theta}~\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$ $$=\frac{2\cos^2(\theta/2)}{[\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)]^2}\frac{\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \frac{\cos (\theta/2)-\sin(\theta/2)}{\cos (\theta/2)+\sin(\theta/2)}$$ $$=\cot(\theta/2) \frac{1-\tan(\theta/2)}{1+\tan(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \tan(\pi/4-\theta/2)=\cot(\theta/2) \cot(\pi/4+\theta/2).$$Stosowanie$\tan(\pi/2-z)=\cot z$.

labbhattacharjee Nov 21 2020 at 13:08

Pozwolić$c=\cot\dfrac\theta2$

Użyj substytucji Weierstrassa

$$\tan\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2-1}$$

$$\sin\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2+1}$$

$$\cos\theta=\cdots=\dfrac{c^2-1}{c^2+1}$$

Jeśli$c\ne0,$

LHS$=\dfrac{\dfrac{c^2-1}{2c}+\dfrac{c^2+1}{2c}}{\dfrac{2c}{c^2-1}+\dfrac{c^2+1}{c^2-1}}=\dfrac{c(c^2-1)}{(c+1)^2}=c\cdot\dfrac{c-1}{c+1}$Jeśli$c+1\ne0$

Wreszcie użyj Udowodnij, że$\cot(A+B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}$