Sekwencja epimorfizmów resztowo skończonych grup stabilizuje się
Pozwolić $G_1 \to G_2 \to \cdots$być sekwencją epimorfizmów nieskończenie generowanych resztowo skończonych grup. Czy ostatecznie ustabilizuje się? To znaczy, czy wszystkie epimorfizmy, ale skończenie wiele, są w rzeczywistości izomorfizmami?
Należy zauważyć, że grupy o skończonej skończonej strukturze są typu hopfian, więc wyklucza to prosty kontrprzykład każdej z nich $G_i$ bycie ustaloną grupą, a każdy epimorfizm jest związany ze sobą.
Analogiczny rezultat zachodzi, gdy grupy są rezydualnie wolne: jest to Propozycja 6.8 w Charpentier Guirardel „Grupy limitowe jako limity wolnych grup” . Dowód wykorzystuje tylko fakt, że grupy rezydualnie wolne są rezydualnie$SL_2(\mathbb{C})$i wydaje się, że można to dostosować do przypadku, w którym każdy $G_i$ jest rezydualnie $GL_n(\mathbb{C})$ na stałe $n$. Wydaje się mało prawdopodobne, że ma to miejsce w przypadku ogólnie trwale skończonych grup: z twierdzenia Jordana-Schura wynika, że dla ogólnej grupy skończonej minimalny stopień$n$ tak, że osadza się w $GL_n(\mathbb{C})$ może być dowolnie duży.
Czy istnieje inny sposób dostosowania dowodu? Czy istnieje kontrprzykład?
Odpowiedzi
Odpowiedź brzmi nie". Grupa lamplighter (która jest prezentowana w nieskończoność) jest granicą ciągu grup praktycznie dowolnych i suriektywnych homomorfizmów (patrz na przykład to pytanie i odpowiedzi tam ). Wszystkie praktycznie wolne grupy są rezydualnie skończone.
W tym samym duchu, co odpowiedź Dodda, kontrprzykład można również wywnioskować z drugiej grupy Houghton $H_2$, która jest definiowana jako grupa bijekcji $L^{(0)} \to L^{(0)}$ który zachowuje sąsiedztwo i brak sąsiedztwa dla wszystkich oprócz skończonych par wierzchołków w linii bi-nieskończonej $L$. Prezentacja$H_2$ jest $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ gdzie $t$ odpowiada jednostce tłumaczenia i $\sigma_i$ do permutacji $(i,i+1)$. Teraz skróć prezentację i zdefiniuj$G_n$ przez $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Korzystając z relacji $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ w celu usunięcia generatorów $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ i $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, znajdujemy następującą prezentację $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Spójrz na tę prezentację, że $G_n$ rozkłada się jako rozszerzenie HNN $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ co okazuje się być izomorficzne z grupą symetryczną $\mathfrak{S}_{n+2}$, gdzie stabilna litera koniuguje $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ do $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Tak więc, jako rozszerzenie HNN skończonej grupy,$G_n$ muszą być praktycznie bezpłatne.
Wniosek jest taki, że kanoniczne mapy ilorazu $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ definiuje sekwencję epimorfizmów między praktycznie wolnymi grupami, która nie ulega stabilizacji.
Uwaga: Poprzez odtworzenie powyższego argumentu niemal słowo w słowo z grupą lamplighterów$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ zamiast grupy Houghton $H_2$prowadzi do tego samego wniosku. Powodem jest to, że te grupy mają podobną strukturę: mają formę$C \rtimes \mathbb{Z}$ dla jakiejś lokalnie ograniczonej grupy Coxetera $C$ gdzie $\mathbb{Z}$ działa $C$ poprzez izometrię definiowania wykresu $C$. (Mówiąc ogólnie, wszystkie inne grupy tego formularza można odzyskać z$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ i $H_2$, więc nie ma innych interesujących przykładów w tym kierunku).