„ $\Sigma_1^1$-Arytmetyka Peano ”- czy to jest sprecyzowane $\mathbb{N}$?

Question

Pozwolić $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$być teorią w logice drugiego rzędu uzyskaną przez rozszerzenie zwykłych aksjomatów Peano pierwszego rzędu tak, aby obejmowały dowolne$\Sigma^1_1$wzory w schemacie indukcji. Moje pytanie brzmi:

Robi $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ masz jakieś niestandardowe modele?

Zwróć uwagę, że model $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ jest dokładnie modelem $\mathsf{PA}$ bez (nietrywialne właściwe) $\Sigma^1_1$-definiowalne kawałki.

Jeśli wymienimy $\Sigma^1_1$ z $\Pi^1_1$ odpowiedź jest natychmiast przecząca, ponieważ zestaw standardowych elementów modelu $\mathsf{PA}$ jest $\Pi^1_1$. Jednak nic podobnego nie wydaje się działać$\Sigma^1_1$ (chociaż mógłbym łatwo przeoczyć coś oczywistego).

Jedna szybka obserwacja jest taka $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$pociąga za sobą prawdziwą arytmetykę pierwszego rzędu . Biorąc pod uwagę formułę pierwszego rzędu$\varphi(x)$, pozwolić $\hat{\varphi}(x)$ być $\Sigma^1_1$ formuła „Jest cięcie zawierające $x$ tak, aby każdy element cięcia był satysfakcjonujący $\varphi$." Gdyby $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ mamy trywialnie $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; przez indukcję złożoności$\varphi$ możemy to pokazać, jeśli spełnia wszystkie standardowe liczby naturalne $\varphi$ następnie $0\in\hat{\varphi}^M$ i konsekwentnie $M\models\forall x\varphi(x)$ (co następnie daje $M\equiv\mathbb{N}$). Jednak nie wiem, jak to wykorzystać, aby uzyskać kategoryczność. Właściwie, o ile wiem, jest możliwe, że np. Każda nietrywialna super moc$\mathbb{N}$ spełnia $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Zauważ, że$\Sigma^1_1$zdania są zachowane pod wpływem ultrasił; jednak przykład indukcji dla a$\Sigma^1_1$ formuła to $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ i $\Pi^1_1$ zdania nie są zachowywane przy przyjmowaniu supermocy, więc nie wydaje się to pomagać.)

Answer 1

Jeśli pozwolisz $\Sigma^1_1$ formuły mają parametry, a następnie PA$_{\Sigma^1_1}$ma tylko model standardowy. Aby to udowodnić, użyj$\Pi^1_1$ definicja standardu w celu stworzenia pliku $\Sigma^1_1$ formuła $\sigma(x,y)$ mówiąc, że $x<y$ i $y-x$ nie jest standardowe, tj. $x$ jest nieskończenie daleko poniżej $y$. Łatwo to pokazać$\sigma(x,y)$ sugeruje $\sigma(x+1,y)$. Tak więc$\Sigma^1_1$ indukcja, jeśli $\sigma(0,y)$ następnie $\forall x\,\sigma(x,y)$ i w szczególności, $\sigma(y,y)$, co jest absurdalne. Więc$\neg\sigma(0,y)$. Ale to znaczy$y$ jest standardem.