Stała sekwencja sum częściowych w rozbieżnych szeregach
W serii harmonicznej mamy $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ dla wszystkich $n$, co implikuje dywergencję. Jednak częściowe sumy z$n$ do $2n$, oszacowany na $n$, równy $\ln(2)$ dla wszystkich $n$. Czy to nie oznacza, że sekwencja sum częściowych zbiegła się do wartości$\ln(2)$, co z kolei oznacza, że szereg powinien być zbieżny? Czuję, że nie rozumiem czegoś fundamentalnego na temat kryterium Cauchy'ego, zbieżności itp. - czy to w ogóle nie jest sekwencja sum częściowych z powodu zabawnych rzeczy, które robimy z interwałem? Dzięki za pomoc.
Odpowiedzi
Po pierwsze drobna sprawa: częściowe sumy z $n$ do $2n$ podejście $\ln{2}$, ale nigdy jej nie dorówna. (Czemu?)
Po drugie, ważniejsza sprawa: w rzeczywistości pokazałeś, że sekwencja sum częściowych $\{ H_n\}$nie jest Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny. Rzeczywiście, gdyby to był Cauchy, to z definicji$|H_{2n} - H_n| \to 0$. To dlatego, że dla każdego$\epsilon > 0$musiałby istnieć $N(\epsilon)$ dla którego $|H_m - H_n| < \epsilon$ kiedy tylko $m, n > N(\epsilon)$; wtedy wybieramy$m = 2n$ tutaj.