Stan dwóch kubitów + kanał depolaryzujący = stan diagonalny dzwonka?

Question

W wielu źródłach, np. RGK , KGR , stwierdza się (bez dowodu), że jeśli weźmiesz dowolne dwa stany kubitów i wyślesz je przez kanał depolaryzujący, uzyskany stan będzie stanem diagonalnym Bella . Rozumiem, że dwudzielny stan diagonalny dzwonka$\rho_{AB}$ ma postać:

$$ \rho_{AB} = \lambda_1 |\Psi^+\rangle\langle \Psi^+| + \lambda_2 |\Psi^-\rangle\langle \Psi^-| +\lambda_3 |\Phi^+\rangle\langle \Phi^+| +\lambda_4 |\Phi^-\rangle\langle \Phi^-|, $$ gdzie $|\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle, |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle$są zwykłymi stanami Bella. Działanie kanału depolaryzującego$\mathcal{E}$ na dwóch kubitach definiuje się jako:

$$ \mathcal{E}(\rho_{AB}) = \sum_i (E_i \otimes E_i) \rho_{AB} (E_i \otimes E_i)^\dagger, $$ gdzie $E_i \in \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$są operatorami Pauli. Jednak nie rozumiem, dlaczego JAKIEKOLWIEK dwustronny operator gęstości miałby zostać przekształcony w stan diagonalny Bella. Czy jest jakiś dowód na to twierdzenie?

Answer 1

Po pierwsze, zwróć uwagę, że każdy stan Bell $|\psi_{ij}\rangle=(|0i\rangle+(-1)^j|1\bar i\rangle)/\sqrt{2}$ jest stanem własnym $E_i\otimes E_i$ dla wszystkich $i$ (wartości własne to $\pm 1$). Stąd stan Bell-diagonal pozostaje Bell-diagonal pod działaniem mapy. To już sugeruje, że stan diagonalny Bell może być ostatecznym celem mapy, ale udowodnijmy to.

Rozważmy arbitralny stan $|\Psi\rangle$. Można to rozłożyć w bazie Bella,$$ |\Psi\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_{ij}\rangle. $$ Mamy $XX|\psi_{i1}\rangle=-|\psi_{i,1}\rangle$ i $XX|\psi_{i0}\rangle=|\psi_{i,0}\rangle$. Na przykład, jeśli obliczyłem$$ |\Psi\rangle\langle\Psi|+XX|\Psi\rangle\langle\Psi|XX, $$ to eliminuje wszelkie krzyżowe terminy, takie jak $|\psi_{i0}\rangle\langle\psi_{j1}|$

Podobnie, $ZZ|\psi_{0i}\rangle=|\psi_{0,i}\rangle$ i $ZZ|\psi_{1i}\rangle=-|\psi_{1i}\rangle$, więc terminy takie jak $|\psi_{0i}\rangle\langle\psi_{1j}|$również zostanie znokautowany. Ostatecznie jedyne terminy, które pozostały, to$|\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|$, czyli stan jest przekątną Bell.

Ściśle rzecz biorąc, aby to wszystko starannie ułożyć, chcesz powiedzieć $$ \rho_x=\rho+XX\rho XX $$ i $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho_x+ZZ\rho_xZZ $$ dwa zobaczcie, jak dwa oddzielne kroki, które wykonałem, pasują do siebie.