$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
Z Teorii funkcji Zeta Riemanna Titchmarsha , strona 13:
Pozwolić $\phi (x)$ być dowolną funkcją z ciągłą pochodną w przedziale $[a,b]$. A następnie, jeśli$[x]$ oznacza największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
W książce nie ma na to dowodów i nie wiem, jak nazywa się to twierdzenie. Chciałbym zrozumieć to twierdzenie, ale w ogóle nie wiem, od czego zacząć.
Odpowiedzi
Pozwolić $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, gdzie $\{t\}$ jest częścią ułamkową $t$.
Szkic dowodu:
Szczegóły zostawiam Tobie. Oto jeden ze sposobów podejścia do tej tożsamości.
- Po pierwsze, zauważ to $\rho$ jest $1$-funkcja okresowa i tak dalej $\rho'(t)=-1$ dla $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. Dla$k\leq \alpha<b\leq k+1$, użyj całkowania przez części dwukrotnie (raz z $u=f(t)$ i $dv=\rho'(t)\,dt$; i inny z$u=f'(t)$ i $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) do zdobycia
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
Możesz teraz dodawać przedziały liczbowe $[k,k+1]\subset(a,b]$ a następnie w potencjalnie ułamkowych interwałach $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ aby uzyskać pożądany efekt.
Edycja: Bardziej ogólny i elegancki dowód można uzyskać przez całkowanie przez części:
Lemat: Niech$F$ i $G$ być prawostronnymi funkcjami lokalnie skończonej zmienności $I$, i pozwól $\mu_G$, $\mu_F$ są podpisanymi środkami wywołanymi przez $G$ i $F$odpowiednio. Następnie dla dowolnego krótkiego interwału$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ gdzie $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
W przypadku PO
Weź pod uwagę środek liczenia $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ i miarę Lebesgue'a $\lambda$, oba zdefiniowane w dniu $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. Pozwolić$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Zauważ, że$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
Stosowanie powyższego lematu z $f$ zamiast $F$ i $\Phi$ zamiast $G$, mamy to $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ i $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ a więc,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
skąd zmiana $\Phi(t-)$ do $\Phi(t)$ wynika z tego, że $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-tak jak
Wniosek następuje poprzez dodawanie i odejmowanie $\frac12$ w ostatniej całce.
To jest według Abel-Summation: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ gdzie $B_1(x)$jest pierwszym wielomianem Bernoulliego. Jak wspomniano wcześniej, plik$1/2$-terminy są zbędne.
Poprzez sukcesywną integrację przez części przy użyciu $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, otrzymasz formułę Eulera-Maclaurina, jeśli $a,b$ są liczbami całkowitymi.