Udowodnij, że liczba pierwsza $p$ może tylko być $13$ [duplikować]

Nov 28 2020

Jeśli się uwzględni $p$ jest liczbą pierwszą taką, że obie $\frac{p-1}{4}$ i $\frac{p+1}{2}$ są również liczbami pierwszymi, a następnie udowodnij to $p=13$. Moja próba: niech$p_1,p_2$ być takimi liczbami pierwszymi $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ i $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ Więc otrzymujemy $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ Teraz, jeśli zacznę zachowywać wartości, to otrzymuję $p_1=3,p_2=7,p=13$jako jedyne trojaczki pierwsze. Ale czy istnieje formalny sposób na udowodnienie$13$ jest jedyną wartością $p$.

Odpowiedzi

4 JohnOmielan Nov 28 2020 at 13:18

Ty masz

$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Z $p_1$, rozważ możliwe wartości modulo $3$. Jeśli to jest$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$, następnie $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$, co jest niedozwolone od tego czasu $p_2 \gt 3$. Alternatywnie, jeśli$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$, następnie $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ więc $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$. Jedynym przypadkiem, w którym może to być możliwe, jest gdzie$p_2 = 2$ dający $p = 3$, ale wtedy $p = 4p_1 + 1$nie może wytrzymać. Pozostaje to jedyny możliwy przypadek, w którym$p_1$, $p_2$ i $p$ wszystkie są pierwsze $p_1 = 3$, co prowadzi do jednego przypadku, w którym $p = 13$.

2 ParclyTaxel Nov 28 2020 at 13:23

Przypuszczać $p\equiv1\bmod3$, wtedy łatwo to zweryfikować $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$, więc $\frac{p-1}4=3$ i $p=13$.

Przypuszczać $p\equiv2\bmod3$, a następnie według podobnej logiki $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ i $p=7$, ale wtedy $\frac{p-1}4$ jest niecałkowita.

Od $p>3$ przez $\frac{p-1}4$ bycie pierwszym, $p=13$.

1 labbhattacharjee Nov 28 2020 at 13:43

Wyraźnie, $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$

Więc jeśli $(p-1)/4>3,$

Zarówno $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$

$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$

Lub $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$