W jaki sposób wektory zależne (nie) zależne są w programie $\mathbb R^n$ rozmieszczone w przestrzeni?

Question

Rozważmy skończony zbiór wektorów $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Ten zestaw jest liniowo niezależny, jeśli $\sum_k \alpha_k v_k=0$ sugeruje $\alpha_k=0$. Z geometrycznego punktu widzenia zależność liniową rozumiem jako stwierdzenie, że zbiór wektorów jest zawarty w hiperpłaszczyźnie przechodzącej przez początek.

Z drugiej strony tak mówimy $\{v_i\}_i$są zależni uczuciowo, jeśli$\sum_k \alpha_k v_k=0$ dla $\alpha_k$nie wszystkie zero i takie tamto$\sum_k\alpha_k=0$. Czy istnieje podobna intuicja geometryczna do wizualizacji zbioru?$\{v_i\}_i$ jest zależny / niezależny?

Answer 1

Twoja charakterystyka liniowej (nie) zależności nie jest do końca poprawna. Każdy zbiór wektorów jest zawarty w jakiejś hiperpłaszczyźnie przechodzącej przez początek, a mianowicie jego rozpiętość.

Zamiast tego powiedziałbym, że skończony zbiór wektorów jest liniowo zależny, jeśli leżą w hiperpłaszczyźnie przechodzącej przez początek, której wymiar jest mniejszy niż liczba wektorów w zbiorze.

I w podobny sposób skończony zbiór punktów $\mathbb R^n$jest zależne w sposób afektywny, jeśli leży w hiperpłaszczyźnie, której wymiar jest mniejszy niż liczba punktów w zbiorze minus 1 . Zatem 3 różne punkty na linii są zależne pod względem powinowactwa, ale 2 różne punkty na linii są afinicznie niezależne.

Jest jeszcze inny ładny geometryczny obraz niezależności afinicznej:

• para punktów jest afinicznie niezależna, jeśli jest zbiorem punktów końcowych odcinka linii (co występuje wtedy i tylko wtedy, gdy dwa punkty w tej parze są nierówne)
• potrójna liczba punktów jest afinicznie niezależna, jeśli jest zbiorem wierzchołków trójkąta
• poczwórna liczba punktów jest afinicznie niezależna, jeśli jest zbiorem wierzchołków czworościanu
• za $k$-dwukta punktów jest afinicznie niezależna, jeśli jest zbiorem wierzchołków a $k-1$jednostronne wymiarowe .

Answer 2

Jak mówi @ runway44, zależne afinicznie oznacza „wszyscy są w hiperpłaszczyźnie”, chociaż prawdopodobnie hiperpłaszczyzna, która nie zawiera początku. Aby szybko to zobaczyć, weź plik$k+1$ wektory $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ z $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ i odejmij $v_0$ z każdego z $v_1, \ldots, v_k$ dostać $w_1, \ldots, w_k$.

Następnie wektory $w_k$wszystkie leżą na równoległej hiperpłaszczyźnie przechodzącej przez początek. (Warto wykonać algebrę, aby ustalić to samodzielnie).

Lub, ujmując to w bardziej klasycznej formie, jeśli weźmiemy $v_0$ jako początek nowego układu współrzędnych, a następnie pozostałe $v_i$ wszystkie wektory leżą w hiperpłaszczyźnie.