Warunkowe oczekiwanie ruchu Browna za pomocą rzutowania

Question

Zakładać, że $W_s,W_t$ są standardowymi ruchami Browna z $s<t$. Znajdź następujące$$E[W_s | W_t]=? $$Wskazówka: użyj metody rzutowania. Jeśli dobrze rozumiem, rzutowanie ma następującą właściwość$$E[W_sZ]=E[YZ] $$ dla $Y=E[W_s|W_t]$ i $Z$ jest jakąś zmienną losową, którą można zmierzyć w ramach tej samej filtracji, która generuje $W_t$. Jak korzystać z tej właściwości i postępować? Każda wskazówka jest mile widziana.

PS Nie rozumiem podanego tutaj rozwiązania i wolałbym rozumieć przy użyciu metody rzutowania (jeśli to w ogóle możliwe).

Answer 1

Główną ideą jest to, że zgadniemy $Y=\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t$ gdzie $\beta$ jest (nielosową) stałą, która zależy tylko od $s$ i $t$. Wtedy metoda rzutowania mówi nam (pozwalając$Z = W_t$) że

\begin{align*} \mathbb{E}[W_s W_t] &= \mathbb{E}[Y W_t] \\ &= \beta \mathbb{E}[W_t^2]. \end{align*}

Teraz już wiemy $\mathbb{E}[W_s W_t] = s$ i $\mathbb{E}[W_t^2]=t$, więc równanie upraszcza się do $s = \beta t$ i stąd $\beta = \frac st$. Dlatego wyciągamy z tego wniosek$\mathbb{E}[W_s | W_t] = \beta W_t = \frac st W_t$.