Wielokrotność geometryczna dla niezerowych wartości własnych macierzy $AB$ i $BA$.

Question

Ponieważ w tej witrynie podano wiele informacji o wartościach własnych $AB$ i $BA$ dla macierzy kwadratowych $A$ i $B$. Jako charakterystyka wielomian$AB$ i $BA$są takie same, więc oba mają ten sam zestaw wartości własnych z wielokrotnością. Teraz chcę wiedzieć o wielości geoemetrii i jako jeden z nich$AB$ i $BA$ może stać się zerem, a inne nie mogą być nawet diagonalizowalne, więc mogę wywnioskować, że wielokrotność geometryczna wartości własnej $0$mogą się różnić. A co z wielokrotnością geometryczną wspólnych niezerowych wartości własnych? Czy będą takie same? tj. jeśli$a\neq 0$ wtedy możemy powiedzieć $$Geo.Mult_a(AB) =Geo.Mult_a(BA)? $$proszę wyjaśnić lub podać kontrprzykład. Dzięki.

Answer 1

Oto nieco inne wyjaśnienie równości wymiarów przestrzeni własnych $AB$ i $BA$dla niezerowych wartości własnych niż w innych odpowiedziach (do tej pory); daje to nieco silniejszy wynik, że typy Jordana (listy rozmiarów bloków Jordana) są również takie same dla niezerowych wartości własnych. Dla dowolnego operatora liniowego$T$ jest wyjątkowy $T$-stabilna komplementarna podprzestrzeń$~W$ do uogólnionej przestrzeni własnej dla wartości własnej$~0$. Można to opisać na kilka sposobów: po algebraicznie zamkniętym polu,$W$jest (bezpośrednią) sumą wszystkich innych uogólnionych przestrzeni własnych; to jest obraz$T^k$ za dostatecznie duże$~k$ ($k=n$wymiar przestrzeni jest z pewnością wystarczający); gdyby$Q$ jest ilorazem charakterystycznego wielomianu przez dowolne czynniki$~X$ więc zawiera $W=\ker(Q[T])$.

Teraz pozwól $T$ być operatorem liniowym podanym przez $AB$ i pozwól $W_0$ być tą podprzestrzenią$~W$dla tego. Ze względu na konstrukcję ograniczenie$T$ do $W_0$ jest odwracalny (nie ma $0$jako wartość własna). Gdyby$W_1$ jest obrazem $W_0$ pod pomnożeniem przez $B$, mamy mapy liniowe $b:W_0\to W_1$ (podane przez pomnożenie przez $B$) i $a:W_1\to W_0$ (podane przez pomnożenie przez $A$) którego skład $a\circ b$ jest odwracalnym ograniczeniem $T$ do $W_0$, więc $a$ i $b$muszą być odwracalne. Począwszy od$T'$ podane przez $BA$ zamiast $AB$widać, że jego podprzestrzeń $W$ Jest w rzeczywistości $W_1$. Teraz ograniczenie$a\circ b$ z $T$ do $W_0$ jest sprzężony z ograniczeniem $b\circ a$ z $T'$ do$~W_1$, od $ab=a(ba)a^{-1}$. Ponieważ wszystkie (uogólnione) przestrzenie własne dla niezerowych wartości własnych$AB$ odpowiednio z $BA$ są zawarte w $W_0$ odpowiednio $W_1$uzyskuje się pożądany rezultat.

Answer 2

To prawda. Pozwolić$x_1,x_2,\ldots,x_k$ być podstawą przestrzeni własnej $AB$ odpowiadająca niezerowej wartości własnej $\lambda$. Następnie$Bx_1,Bx_2,\ldots,Bx_k$ są liniowo niezależne, bo jeśli $\sum_ic_iBx_i=0$, następnie $\lambda\sum_ic_ix_i=A(\sum_ic_iBx_i)=0$ i stąd wszystko $c_i$s wynoszą zero. Jednak jak$BA(Bx_i)=B(ABx_i)=\lambda Bx_i$, każdy $Bx_i$ jest wektorem własnym $AB$ odpowiadające wartości własnej $\lambda$. Dlatego geometryczna wielość$\lambda$ w $BA$ jest większa lub równa wielokrotności geometrycznej $\lambda$ w $AB$. Odwrotna nierówność jest również prawdą, jeśli zamienimy role$A$ i $B$w powyższym. Dlatego wielokrotności geometryczne$\lambda$ w $AB$ i $BA$ są takie same.

Answer 3

Wskazówka:

Gdyby $\lambda \ne 0$ jest wartością własną $AB$ i $BA$sprawdź, czy mapy liniowe $$\ker(AB-\lambda I) \to \ker (BA - \lambda I), \quad x \mapsto Bx$$ $$\ker(BA-\lambda I) \to \ker (AB - \lambda I), \quad x \mapsto Ax$$są iniekcyjne. Wynika$\dim \ker (AB - \lambda I) = \dim \ker (BA - \lambda I)$.