Wyrażenie krzywizny zewnętrznej
W książce Padmanabhana Gravitation Foundations and Frontiers, następujące równanie dotyczące zewnętrznej krzywizny hiperpowierzchni można znaleźć w sekcji 12.2 (patrz tuż powyżej równanie 12.19 w tej książce):
\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}
Zgodnie z konwencją książki indeksy greckie biegną dla współrzędnych przestrzennych ($\alpha=1,2,3$) i indeksy łacińskie działają dla współrzędnych czasoprzestrzennych ($a=0,1,2,3$). Zatem powyższe równanie daje wyrażenie na przestrzenne składniki krzywizny zewnętrznej,$K_{\alpha\beta}$. Tutaj,$n^a$ jest polem wektorowym normalnym do hiperpowierzchni i $N$to funkcja lapse. Książka twierdzi, że jeśli rozszerzymy symbol Christoffela, otrzymamy następujące wyrażenie (patrz równanie 12.19 w książce):
$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$
Tutaj, $N^\alpha$ jest wektorem przesunięcia, $h_{\alpha\beta}$ jest indukowaną metryką przestrzenną hiperpowierzchni, a $D_m$ jest wewnętrzną kowariantną pochodną hiperpowierzchni z jej działaniem na czysto przestrzenne wektory $X_s$, który spełnia ograniczenie, takie jak $X_sn^s=0$, zdefiniowana jako
$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$
gdzie, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ są tensorem projekcji na hiperpowierzchni, i $\nabla_a$ jest zwykłą kowariantną pochodną czasoprzestrzeni.
Nie udało mi się wyprowadzić równania 12.19 podając wyrażenie na $K_{\alpha\beta}$. Poniżej pokazuję, jak próbowałem to zrobić. Symbol Christoffel można rozwinąć jako:\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} W powyższym przypadku wykorzystałem fakty, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$
Odpowiedzi
Kalkulacja PO wydaje się w porządku. Jeśli będziemy postępować zgodnie z tą linią, wymagane wyrażenie może zostać osiągnięte dość łatwo. Po pierwsze, zauważam, że$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$Być może to zastąpienie było tym, co było mylące w obliczeniach PO. Jeśli to poprawimy, to wynika,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} W związku z tym, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$
- Zewnętrzna krzywizna jest definiowana w czasoprzestrzeni otoczenia (a nie na hiperpowierzchni) jako $n_a$: $$K_{ab} = -P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \nabla_c n_d,$$ z $P_\perp$tensor projekcji na hiperpowierzchni. Zauważ, że przez konstrukcję krzywizna zewnętrzna jest przestrzenna i symetryczna w swoich dwóch indeksach.
- Użyj symetrii do pisania $K_{ab}$ jako pochodna Lie:$$K_{ab} ={-\scriptsize\frac{1}{2}} P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \mathcal{L}_n \,g_{cd}.$$
- Użyj ortogonalnej dekompozycji metryki i dostosowanego układu współrzędnych $t^a = Nn^a + N^a$ do osiągnięcia funkcji Lapse i wektora przesunięcia $$K_{ab} = {\scriptsize\frac{1}{2}}N^{-1}\mathcal{L}_{(N-t)}h_{ab}.$$
Bibliografia:
- T. Thiemann, Wprowadzenie do współczesnej kanonicznej ogólnej teorii względności , podrozdział I.1.1