Względna liczba pierwsza względem $0$
To pytanie jest bardziej ogólne, ale mam zamiar użyć twierdzenia, aby je zmotywować.
Przypuśćmy, że chcę udowodnić, że istnieje racjonalność $r$ takie że $r^3 + r + 1 = 0$. Pierwszym krokiem jest założenie, że istnieje taki plik$r$, więc $r = \frac{p}{q}$ gdzie $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ gdzie $p,q$ są stosunkowo pierwszorzędne.
Oto moje pytanie. Jeśli to$r$ byli $0$ (tak nie jest i mogę to wykluczyć, ale interesuje mnie, czy rzeczywiście muszę to wykluczyć ze względu na całkowity rygor), że $r = \frac{0}{q}$. Ale$0 \cdot 0 = 0$ i $0 \cdot q = 0$, więc obie $p$ i $q$ mają wspólny czynnik $0$.
Ale $\gcd(p,q) = 1$, nadal, od $1 > 0$i wydaje się, że nie ma znaczenia, czy $q$ jest negatywna.
Na tej podstawie dochodzę do wniosku, że nie ma znaczenia, czy $p = 0$i nie muszę o tym myśleć. Czy to prawda? Jeśli napisałem „załóżmy$p$ i $q$ nie mają wspólnych czynników ”, jest to już trochę niejednoznaczne, ponieważ z pewnością mają wspólny czynnik $1$, ale bardziej formalne założenie „względnie pierwsze” wydaje się prawidłowe.
Odpowiedzi
Jeśli zastąpimy „$p,q$ są stosunkowo pierwsze „z”$\frac pq$ jest w „najniższym terminie” „czy zmieniłoby to sposób, w jaki o tym myślisz?
Jeśli $q > 1$ następnie $\frac 0q = \frac 01$ więc $\frac 0q$ nie jest w najniższych kategoriach.
Jeśli użyjemy notacji $\gcd$ i „względna liczba pierwsza”, chociaż argument jest taki sam.
Tak jak $0\cdot q = 0$ mamy $q$ jest dzielnikiem $0$ a więc $\gcd(0, q) = q$ i jeśli $q > 1$ następnie $\gcd(0,q) = q$ i dlatego
Jeśli $q>1$ następnie $0$ i $q$ nie są względnie pierwsze.
Ale $\gcd(0,1) = 1$ więc
$0$ i $1$ są stosunkowo pierwszorzędne.
I możemy kontynuować.
====
Ale w swojej analizie zdezorientowałeś się i dokonałeś konwolucji.
Mówisz:
Ale 0⋅0 = 0 i 0⋅q = 0, więc oba p i q mają wspólny współczynnik równy 0.
Nie do końca. mamy$0\cdot q =0$. Zdajesz nie mają$0\cdot something = q$. Więc$0$to NIE czynnikiem$q$. Więc$0$nie jest czynnikiem niczego poza sobą samym.
To, co masz i powinieneś powiedzieć, to ponieważ$0\cdot q = 0$ i $1\cdot q = q$ że to jest $q$ (i nie $0$), który jest wspólnym czynnikiem $0$ i $q$.
W rzeczywistości każda rzecz jest czynnikiem$0$ więc $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Miej na uwadze$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ ponieważ jeśli coś dzieli oba $a$ i $b$ również dzieli $-a$ i $-b$.)
I $0$ i $q$ są stosunkowo najlepszymi środkami $\gcd(0, q) = 1$. Ale$\gcd(0, q) = |q|$ więc mieć $0$ i $q$ musimy mieć stosunkowo pierwszeństwo $q = \pm 1$.
....
och, powinienem wskazać, jak poprawił mnie Prasun Biswas, że kiedy definiujemy $\gcd(a,b)$i „największy” wspólny dzielnik, większość tekstów niekoniecznie oznacza „największy” pod względem wielkości, ale „największy” pod względem podzielności. Definiujemy$a\preceq b$ to znaczy $a$ dzieli $b$i to jest porządek częściowy (nie całkowity, nie porównuje żadnych dwóch elementów). Używając tej kolejności, „największy” wspólny dzielnik jest wspólnym dzielnikiem, na który dzielą się wszystkie inne wspólne dzielniki.
W większości definicje są takie same, jak gdyby $a,b$ są pozytywne $a\preceq b \implies a \le b$. I jeśli$a,b$ są dodatnimi liczbami całkowitymi największym wspólnym dzielnikiem wielkości, a wspólnym dzielnikiem największej podzielności są takie same.
Ale w tym przypadku wszystko się dzieli $0$, jak zawsze $q\preceq 0$ i $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ i $0$jest większą podzielnością niż wszystkie liczby całkowite. Więc chociaż wszystko$q$ są wspólnymi dzielnikami $0$ i $0$, $\gcd(0,0) = 0$.