Zmiany paradygmatu w matematyce [zamknięte]
w fizyce było kilka wyraźnych rewolucji lub zmian paradygmatów, które zasadniczo zmieniły tę dziedzinę. Jednym z przykładów jest rewolucja kopernikańska i wszechogarniające przejście od perspektywy ptolemejskiej do heliocentrycznej.
Biorąc pod uwagę, że matematyka działa na podstawie aksjomatów, doszedłem do wniosku, że jest mało prawdopodobne, aby błędne założenia wkradły się do kanonu tej dziedziny. Dodatkowo, podczas mojej edukacji matematycznej (jako fizyk) miałem wrażenie, że matematyka ewoluowała raczej nieprzerwanie od Greków do dnia dzisiejszego, zawsze dodając nową wiedzę do starej.
Dlatego moje pytanie brzmi, czy jest to błędne i czy nastąpiły pewne zmiany paradygmatu lub radykalne reinterpretacje wcześniejszych wyników w historii matematyki, czy też był to ciągły wzrost wiedzy?
Uzupełnienie
Pojawiło się już to pytanie, które domaga się filozoficznych zmian w matematyce. Jednak doszedłem do wniosku, że różni się od tego, ponieważ próbuję zrozumieć, czy zasób wiedzy matematycznej rośnie liniowo, czy też jest nieciągły w pewnych punktach.
Odpowiedzi
Przypuszczam, że moglibyśmy odróżnić „rewolucje”, które grzebią ich zmarłych (że tak powiem) od „zmian paradygmatu” (gdzie gra toczy się dalej, a praca wykonana w starym stylu nie jest wymazywana, ale nie wygląda już interesująco lub ważna do wykonania).
Przypuszczam, że kiedyś sądzono, że XIX-wieczna przeróbka analizy bez nieskończenie małych była rewolucją, która wyparła fałsz / niespójność (dlatego różne niestandardowe analizy, które rehabilitowały nieskończenie małe - w pewnym sensie!) Były intrygującą niespodzianką setki i coś po latach). Rozwój teorii mnogości był rewolucją, pokazując, że można mieć spójną teorię („zakończonych nieskończoności”) tam, gdzie wcześniej sądzono, że może istnieć tylko fałsz / niespójność.
Ale tego typu przypadki są z pewnością wyjątkiem (w każdym razie w matematyce). Zmiana paradygmatu nie musi obejmować przypuszczenia, że to, co było wcześniej, jest złe . Raczej wprowadza się nowe koncepcje, można podnosić nowe problemy, nowe podejścia są postrzegane jako szczególnie interesujące / satysfakcjonujące; nowe wzorce są postrzegane jako wzorce do naśladowania i wyznaczające standardy, według których oceniane są rozwiązania problemów. Na przykład rozwój algebry abstrakcyjnej w ubiegłym stuleciu wydaje się być paradygmatem tego rodzaju zmiany paradygmatu ...!
Matematyka nie jest dyscypliną aksjomatyczną. Jednym ze sposobów otwierania nowej dziedziny jest generalnie odkrywanie przykładów, które mają coś wspólnego i które wydają się wskazywać na nową teorię.
Weźmy na przykład homologię. Zostało to zaksjomatyzowane przez Eilenberga i Steenroda. Ale gdyby ludzie nie odkryli liczb Bettiego, gdyby Poincare nie odkrył homologii i nie zauważyłby Noether, że liczby Bettiego lepiej traktować jako grupy, nie byłoby czego aksjomatyzować.
Hilbert mówi mniej więcej to samo w swojej Geometry & the Imagination, gdzie klasyfikuje myślenie dedukcyjne, czyli myślenie wywodzące się z formy aksjomatycznej niższego rzędu niż myślenie indukcyjne, które klasyfikuje jako prawdziwą formę myślenia naukowego.
Osobiście dla mnie kluczową zmianą paradygmatu było wprowadzenie myślenia o teorii kategorii do matematyki, co również pokazuje ciągłość myśli. Na przykład trójkąt został odkryty wcześnie, dodając kierunki do boków, mamy prawo dodawania wektorów, a następnie pozwalając na zakrzywienie boków, możemy myśleć o nich jako o strzałkach z teorią kategorii. To również jest odkrywcze: możemy myśleć o nich jako o wektorach nieeuklidesowych iw przestrzeni długości, w której między dowolnymi dwoma punktami znajduje się unikalna geodezja, możemy podnieść skierowaną geodezję do takiego wektora.