Znajdź wszystkie funkcje $f$ takie że $f(mn) = f(m)f(n)$ i…

Aug 16 2020

Znajdź wszystkie funkcje $f : N → N$ takie że

(za) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ dla wszystkich $m, n ∈ N$

(do) $f(m) < f(n)$ dla $m < n$

Najpierw podstawiłem $m=1,n=2$ dostać $f(1)=1$. Następnie możemy łatwo zauważyć, że wszystkie uprawnienia$2$będą sobie równi. To jest$f(4)=4,f(8)=8$, i tak dalej. Teraz następny krok, nie jestem taki pewien, jest poprawny. Tak jak$f(4)>f(3)>f(2)$, i $f : N → N$, Myślę $f(3)$ może tylko być $3$ale znowu nie jestem taki pewien. Jeśli tak, to uważam, że jedyną możliwą funkcją jest$f(x)=x$.

A teraz kolejna część problemu -

Co się stanie, jeśli trzeci warunek nie zostanie nam dany?

Niestety nie mam nawet odpowiedzi na problem, nie mówiąc już o rozwiązaniu. Wszelkie wskazówki również byłyby pomocne, dzięki.

Odpowiedzi

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

Łatwiejsze :

gdyby $f(1)=1$ i $f(2^n)=2^n$i ponieważ masz $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

jedyna możliwość jest taka $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ i tak dalej.