Znalezienie współczynnika korelacji $X$ i $XY$
Pozwolić $X$ i $Y$być niezależnymi zmiennymi losowymi z niezerowymi wariancjami. Szukam współczynnika korelacji$\rho$ z $Z=XY$ i $X$ pod względem środków i wariancji $X$ i $Y$, tj $\mu_X, \mu_Y, \sigma^2_X, \sigma^2_Y$.
(Szukałem różnych metod online, w tym korelacji między X i XY . Zastanawiam się jednak, czy mógłbym użyć prostego podejścia do obliczeń zamiast używać również momentów).
Wynik, który otrzymałem, wraz z wykonanymi przeze mnie krokami, jest następujący:
$$ \begin{align} \rho & = \frac{\text{Cov}(Z,X)}{\sigma_Z\sigma_X}\\[1em] & = \frac{E\left[\left(Z-\mu_Z\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sigma_Z\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left[\left(XY-\mu_X\mu_Y\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(XY\right)^2\right]-\left[E\left(XY\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2\left[E\left(Y\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2\right)E\left(Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{\left(\sigma_X^2+\mu_X^2\right)\left(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\right)-\mu^2_X\mu^2_Y}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\left[E\left(X^2\right)-\mu^2_X\right]}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}} \end{align} $$
która pozornie różni się od wyniku z podejścia momentowego zastosowanego w Korelacji między X i XY . Na którym etapie wystąpił błąd w moich obliczeniach (jeśli występuje) i jak mogę go uzyskać$\rho$ z podejścia, które próbuję zastosować?
Odpowiedzi
Przydatnym podejściem do debugowania ciągu równości jest przykład lub dwa, dzięki czemu można sprawdzić, gdzie równość przestaje się utrzymywać.
Najprostszym przykładem, jaki przychodzi mi do głowy, jest to $Y$bycie stałą inną niż 0, 1 lub -1. Więc pozwól$Y=\mu_Y$ być dodatnią stałą, która nie jest 1, i $\sigma^2_Y=0$.
Pierwsze trzy równości to tylko rozszerzenie definicji, więc czwarta to pierwsza sytuacja, w której coś może pójść nie tak. I tak jest. Licznik w trzeciej linii upraszcza do$\mu_Y\mathrm{var}[X]$. Licznik w czwartej linii nie. Albo nie, kiedy to pisałem; został teraz zredagowany.
Wersja edytowana przechodzi tę kontrolę. Pasuje również do trzeciej odpowiedzi w połączonym pytaniu, która jest zgodna z pierwszą odpowiedzią, więc prawdopodobnie możemy stwierdzić, że jest poprawna.
To, co napisałeś, jest tym samym, co wyrażenie w linku. W łączu jest literówka w mianowniku, as$\mu_2(Y)^2$ Powinien być $\mu_1(Y)^2$.
\ begin {eqnarray} \ text {Cor} (X, XY) & = & \ frac {\ mu_2 (X) \ mu_1 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y)} {\ sqrt {( \ mu_2 (X) - \ mu_1 (X) ^ 2) (\ mu_2 (X) \ mu_2 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y) ^ 2)}} \\ & = & \ frac {E [X ^ 2] \ mu_Y - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 (E [X ^ 2] E [Y ^ 2] - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2)}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {(\ sigma_X ^ 2 + \ mu_X ^ 2) (\ sigma_Y ^ 2 + \ mu_Y ^ 2) - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2 + \ sigma_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2 + \ mu_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2}} \\ \ end { eqnarray}