Zrozumienie operatora gęstości w mechanice kwantowej dla wspólnego systemu
Weź pod uwagę, że pracujemy ze wspólnym systemem składającym się z systemu A z podstawą $|\alpha_j\rangle$ i system B z podstawą $|\beta_j\rangle$, możemy napisać ogólną macierz gęstości dla układu połączeń w odniesieniu do podstawy iloczynu tensora $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.
Chcę więc zrozumieć, jak możemy wywnioskować, że operator gęstości można zapisać w następujący sposób.
$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
Jakakolwiek pomoc w ułatwieniu mi zrozumienia tego byłaby bardzo mile widziana.
Odpowiedzi
Gdyby $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ jest podstawą dla przestrzeni Hilberta $\mathcal H_A$ i $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ jest podstawą $\mathcal H_B$, następnie $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ jest podstawą $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, naturalna przestrzeń Hilberta dla systemu kompozytowego. Aby rozjaśnić notację, definiuję$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.
Stamtąd operator tożsamości $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ można pisać $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$
czyli dowolny operator $T$ można pisać
$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$
gdzie $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$
Krótka odpowiedź: zastosuj obie strony równania do dowolnego wektora bazowego ket, a wiele rzeczy się uprości.
Prawda tego równania nie ma nic wspólnego z faktem, że jest to układ wspólny lub operator gęstości. Byłoby to prawdą dla każdego operatora i każdej bazy ortonormalnej.
Po zastosowaniu obu stron równania do wektora bazowego, jednym ze sposobów jest odwrócenie tych dwóch terminów i użycie rozwiązania tożsamości.