ค่าคงที่ไฟเกนบอม

บทความที่แล้วของฉันเป็นการแนะนำสั้นๆ เกี่ยวกับทฤษฎีความโกลาหลซึ่งส่วนใหญ่ฉันเขียนเกี่ยวกับ เอ ฟเฟกต์ผีเสื้อซึ่งเป็นแนวคิดจากจุดเริ่มต้นของทฤษฎีความโกลาหล ก่อนหน้านี้ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับกราฟประชากรในบทความของฉัน ฉันอธิบายกราฟเป็นเศษส่วนที่เรียกว่า "ต้นมะเดื่อ" ฉันได้กล่าวไว้ด้วยว่าแฟร็กทัลเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีความโกลาหล ในที่สุดความโกลาหลก่อตัวเป็นกราฟนี้ได้อย่างไร

มีค่าคงที่ที่มีชื่อเสียงมากซึ่งถูกกล่าวถึงพร้อมกับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอื่นๆ เช่น π, sqrt{2}, e, i เป็นต้น โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เคยได้ยินเรื่องนี้มาก่อน จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ ค่าคงที่นี้เรียกว่า “ค่าคงที่Feigenbaum ” ซึ่งมีค่าเป็น δ = 4.6692016……. ซึ่งหมายความว่ามีค่าอตรรกยะเช่น π หรือ e มีค่าคงที่ Feigenbaum สองตัว อีกอันที่เรียกว่า α เป็นสัญลักษณ์ แต่นั่นเป็นอีกเรื่องหนึ่งที่ฉันจะไม่พูดถึงในบทความนี้

ประมาณทศวรรษที่ 1970 นักวิทยาศาสตร์ชื่อRobert Mayได้เขียนบทความซึ่งเขาได้เขียนสมการซึ่งจำลองการเติบโตของประชากร สมการมีดังนี้:

ในกรณีนี้ x_(n+1) คือประชากรในปีหน้า x_n คือประชากรปัจจุบัน และ λ คือภาวะเจริญพันธุ์ สมการนี้เป็นแผนที่โลจิสติกหรือเป็นเพียงฟังก์ชันสำหรับการเติบโตของประชากร โดยพื้นฐานแล้ว การใช้สมการนี้ เราสามารถคาดการณ์ได้ว่าประชากรในปีหน้าจะมีจำนวนเท่าใด ฉันบอกว่า λ เปรียบเสมือนความอุดมสมบูรณ์ของประชากร ดังนั้น ถ้ามีค่าสูง แสดงว่ามีการผสมพันธุ์สูง แต่ถ้ามีค่าต่ำ แสดงว่ามีการผสมพันธุ์ต่ำ ค่าของ λ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 โดยที่ 0 หมายถึงไม่มีการผสมพันธุ์ และ 1 หมายถึงการผสมพันธุ์ที่สมบูรณ์

ตอนนี้ นักวิทยาศาสตร์ที่สนใจการเติบโตของประชากรทำซ้ำกราฟนี้เพื่อสังเกตการเปลี่ยนแปลงของประชากรในอนาคต ใน RHS หรือขวามือของสมการที่กำหนด x_n คือชีวิต ในขณะที่ (1 — x_n) คือความตาย

ตกลง. ตอนนี้หาค่าใดๆ ของ x_1 ให้มันเป็น 0.5 นั่นคือให้ประชากรครึ่งหนึ่ง ฉันกำลังหาค่าของ λ เป็น 2.3

ดังนั้น หากเราคำนวณจำนวนประชากรในปีต่อๆ ไปโดยใช้สมการ นั่นคือ x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11 จะได้

0.575, 0.5621, 0.5661, 0.5649, 0.5653, 0.5652, 0.5652, 0.5652, 0.5652, 0.5652 ตามลำดับ

คุณสามารถสังเกตได้ว่าค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งการเติบโตของประชากรมีเสถียรภาพ สิ่งนี้เรียกว่าเป็นจุดคงที่ในการวนซ้ำ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเปลี่ยน λ ลองเลือก λ ที่เล็กมาก ระหว่าง 0 ถึง 1 สมมติว่า 0.65 เห็นได้ชัดว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากภาวะเจริญพันธุ์ต่ำมาก แต่ลองคำนวณการรักษา x_1 เป็น 0.5 กัน เมื่อฉันคำนวณ x_2, x_3, x_4….. ต่อไปนี้เป็นค่าที่ฉันคำนวณ

0.1625, 0.0885, 0.0524, 0.0323, 0.0203, 0.0129, 0.0083, 0.0053, 0.0035, 0.0022, 0.0015, 0.0009, 0.0006, 0.0004, 0.0003, 0.0001, 0.0001, 0.0001, 0.0002

ประชากรตายหมด

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันใช้ค่าการเจริญพันธุ์ที่สูงขึ้น เช่น 3.2 ?

ฉันคำนวณอีกครั้งโดยให้ x_1 เป็น 0.5 หลังจากการวนซ้ำหลายครั้ง ฉันสังเกตเห็นว่าค่าต่างๆ เกิดขึ้นเป็น

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,….. ประชากรคงที่ แต่คงที่ 2 ค่า

ตอนนี้ฉันจะใช้ค่าที่เลือกอย่างระมัดระวังของ λ ซึ่งก็คือ 3.5

ด้วย x_1 เป็น 0.5 เมื่อผ่านการคำนวณอีกครั้ง ฉันสังเกตเห็นว่าค่าต่างๆ หลังจากการวนซ้ำหลายครั้งเกิดขึ้นเป็น

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, ….

งวดนี้คงตัวที่ 4 ค่า

ทีนี้มาสร้างกราฟจากกรณีทั้งหมดที่เราได้เห็นกัน

ก) เมื่อจำนวนประชากรคงที่

b) เมื่อประชากรเสียชีวิต

ค) เมื่อประชากรตีกลับระหว่างค่าสองค่า

ง) เมื่อประชากรตีกลับระหว่างสี่ค่า

ด้วยผลลัพธ์ที่เรามี เราจะเขียนกราฟด้วย λ บนแกน x และจำนวนประชากรบนแกน y ต่อไปนี้คือสิ่งที่คุณจะได้รับ:

เมื่อ λ = 3.2 เรามีค่าสองค่าที่วนซ้ำ ดังนั้น คุณจะสังเกตเห็นว่ากราฟแยกไปสองทางตรงนั้น 'Bifurcate' เป็นเพียงวิธีการที่ซับซ้อนในการบอกว่ากราฟแยกออก ในทำนองเดียวกัน เมื่อประมาณ 3.5 ก็จะแยกออกเป็นสี่ส่วนอีกครั้ง สิ่งนี้ดำเนินต่อไป แต่ในอัตราที่เร็วกว่ามาก กราฟจะแยกออกเป็นสองแฉกเร็วขึ้นไปอีก ณ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตัวมันเอง หลังจากนั้นไม่นาน กราฟจะแสดงสิ่งพิเศษเมื่อเราไปทางขวาต่อไป แต่ก่อนหน้านั้น ให้ฉันนิยามสิ่งที่ฉันเริ่มต้นบทความนี้ด้วยค่าคงที่ Feigenbaum

ดังที่แสดงในแผนภาพด้านบน หากฉันหาความยาวสองส่วนติดต่อกันใดๆ ของแต่ละแฉกของกราฟและหาอัตราส่วน คุณจะได้ค่าอตรรกยะคงที่ 4.6692016……

นี่คือค่าคงที่ของ Feigenbaum มันบอกว่าความยาวของแฉกคือ 4.6692016……. เล็กกว่าครั้งก่อนหลายเท่า Feigenbaum ค้นพบว่าถ้าคุณใช้สมการกำลังสองใดๆ เช่น สมการประชากร คุณสามารถสร้างกราฟเพิ่มระยะเวลาเป็นสองเท่าได้ด้วยการเล่นกับพารามิเตอร์ และโดยการหาอัตราส่วนของความยาวของสองแฉกติดต่อกัน คุณจะได้เลขเดียวกันสำหรับสมการกำลังสองใดๆ

ต่อไปนี้คือชะตากรรมของกราฟหลังจากประมาณ λ = 3.59

กราฟกลายเป็นบ้าหรือค่อนข้างวุ่นวาย แม้ว่ากราฟนี้จะถูกค้นพบก่อนที่ทฤษฎีความโกลาหลจะเป็นที่รู้จักเสียด้วยซ้ำ ค่าคงที่และกราฟนี้จึงถูกนำมาใช้มากในระหว่างการศึกษา ความโกลาหลจะอ่อนไหวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นที่สร้างการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ ดังที่อธิบายโดยเอฟเฟกต์ผีเสื้อ ในทำนองเดียวกัน การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยใน λ อาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างบ้าคลั่งในกราฟ ควบคู่ไปกับเอฟเฟกต์ผีเสื้อ นี่เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีความโกลาหล