Inégalité de Cauchy-Schwarz

Objectif de cet article : Énoncer l'inégalité, discuter d'une preuve simple (il y en a beaucoup) et de quelques applications dans le domaine des mathématiques.

Augustin-Louis Cauchy - Le mathématicien dont j'ai entendu le nom encore et encore d'innombrables fois tout au long de ma licence en mathématiques - théorème de Cauchy ou formule intégrale de Cauchy, séquence de Cauchy, équations de Cauchy-Riemann, distribution de Cauchy, etc. Il est toujours apparu au moins une fois dans tous les modules que j'ai suivis à l'université - obligatoires ou au choix - en particulier l'analyse, le calcul multivariable, la théorie des probabilités et dans quelques modules algébriques (algèbre linéaire) et géométriques.

Parmi ses nombreux théorèmes et résultats, une inégalité qu'il a publiée est l' inégalité de Cauchy-Schwarz (ou inégalité de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ). Cauchy a d'abord publié l'inégalité simple. Bunyakovsky et Schwarz ont suivi, publiant la version intégrale de l'inégalité et sa preuve moderne.

Déclaration

Venons-en à l'énoncé de l'inégalité.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz stipule que,

Disséquons cela correctement car les notations mathématiques ne sont pas universelles. Plusieurs fois, la même notation est utilisée différemment à plusieurs endroits selon le contexte du concept mathématique.

La norme euclidienne , ou longueur, ou grandeur de

est noté |x| et est défini par,

Dans de nombreux autres contextes et disciplines, la notation ||x|| est utilisé à la place de |x|.

La direction d'un vecteur x non nul est définie comme étant le vecteur unitaire x/|x|. La relation évidente

est l'énoncé mathématique de la définition informelle d'un vecteur (non nul) comme une quantité qui a à la fois une magnitude et une direction (* Notez que le vecteur zéro n'a pas de direction).

La distance euclidienne entre les vecteurs x et y dans R^n est définie comme

Le produit scalaire euclidien xy, également appelé produit scalaire et produit scalaire , des vecteurs x, y appartenant à R^n est défini comme

Les autres notations pour xy incluent (x, y) et <x, y>. D'après les définitions ci-dessus, il ressort que

Donc l'inégalité de Cauchy-Schwarz,

ou, pour moins de confusion,

peut être réécrit comme,

Preuve

Maintenant, prouvons cela. Il existe de nombreuses façons simples et simples de prouver cette inégalité. Je vais parler de l'un d'entre eux dans cet article.

Prenons d'abord deux vecteurs non nuls x, y appartenant à R^n.

soit f(k) une fonction définie comme,

(ky — x) est aussi un vecteur. Nous savons que la longueur de tout vecteur réel est toujours positive car la longueur est la valeur absolue du vecteur, ce qui signifie que c'est la racine des carrés. Ainsi, la longueur de tout vecteur réel est toujours supérieure ou égale à 0.

Alors,

On sait que si on prend n'importe quel vecteur v,

Donc pour le vecteur (ky — x),

Nous savons que le produit scalaire est distributif, associatif et commutatif. En utilisant la propriété distributive du produit scalaire,

Puis en utilisant les propriétés commutatives et associatives du produit scalaire,

Prenons

Cela va être supérieur à 0 pour tout k.

Maintenant, nous allons évaluer k = b/2a dans la fonction f(k). Avant d'évaluer, nous devons savoir avec certitude que le dénominateur n'est pas zéro. Ainsi, a = yy où y est un vecteur non nul . Nous avons également établi précédemment que la longueur de tout vecteur réel est supérieure à 0. Par conséquent, a est non nul et 2a aussi.

Évaluer,

La simplification de l'inégalité nous donne,

En remettant les valeurs d'origine a, b et c,

S'enracinant des deux côtés de l'inégalité,

C'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Par conséquent, prouvé!

Sauf cela, il existe de nombreuses variantes dans lesquelles cette inégalité peut être prouvée.

Maintenant, avant de passer à ses applications, permettez-moi de souligner une chose. Que se passe-t-il si un vecteur de l'inégalité est le multiple scalaire de l'autre ? Cela signifie, et si

Alors,

Ainsi, dans le cas où un vecteur de l'inégalité est le multiple scalaire de l'autre, l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité,

Applications

Cette inégalité est appliquée dans de nombreux domaines et domaines d'étude comme l'algèbre linéaire (matrices, vecteurs et transformations), la théorie des probabilités (variables aléatoires, valeurs attendues et corrélation) ainsi qu'en physique (principe d'incertitude et bruit photonique) et en ingénierie. (valeurs quadratiques moyennes comparées aux valeurs de crête d'une forme d'onde)

En géométrie, il peut être utilisé pour trouver l'angle entre deux vecteurs non nuls. L'inégalité de Cauchy-Schwarz implique que, si les vecteurs x et y sont tous deux non nuls, alors il existe un unique

Si vous connaissez l'inégalité triangulaire de l'analyse, définie comme

Connaissant les propriétés algébriques simples, vectorielles et de produit interne, cette inégalité triangulaire peut être prouvée à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

L'équation

est utilisé en statistique, en particulier dans la théorie des probabilités pour prouver l'inégalité de covariance, où 'Var' dénote la variance et 'Cov' dénote la covariance.

Dans le calcul multivariable, qui faisait partie de mes cours à Warwick, cette inégalité a été utilisée pour définir et prouver une relation entre |Ax| et |x| d'où la norme de l'opérateur découle lorsque x s'étend sur R^n, où,

L(R^n,R^k) est l'espace des applications linéaires,

Par conséquent, dans cet article, nous avons approfondi l'un des nombreux résultats importants en mathématiques avancées qui est un outil très utile dans les preuves multiples et dans la compréhension de divers concepts en mathématiques.