Alternatywa dla frakcji ciągłej i aplikacji
Ten post jest zainspirowany filmem Numberphile 2.920050977316 , reklamującym gazetę A Prime-Representing Constant autorstwa Dylana Fridmana, Juli Garbulsky'ego, Bruno Glecera, Jamesa Grime'a i Massi Tron Florentina, zawierającą alternatywę dla ciągłych frakcji. Celem tego postu jest omówienie znaczenia tej alternatywy poprzez pytanie, czy może ona udowodnić nieracjonalność liczb, dla których wcześniej była nieznana.
Przypomnijmy najpierw pojęcie ułamka ciągłego . Na podaną liczbę$\alpha>0$, rozważ relację powtarzania $u_0 = \alpha$ i $$ u_{n+1} = \begin{cases} (u_n - \lfloor u_n \rfloor)^{-1} & \text{ if } u_n \neq \lfloor u_n \rfloor \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$$ i pozwól $a_n = \lfloor u_n \rfloor $. Następnie$$\alpha = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots}}}$$ oznaczony $[a_0; a_1, a_2, \dotsc]$. Jest to racjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy$a_n = 0$ dla $n$wystarczająco duży. Jest to więc świetne narzędzie do udowodnienia nieracjonalności niektórych liczb. Na przykład,$\phi = [1;1,1, \dotsc]$ to złoty stosunek, ponieważ $(\phi-1)^{-1}=\phi$.
Pozwolić $p_n$ być $n$pierwszą, to możemy wziąć pod uwagę liczbę niewymierną $[p_1;p_2,p_3, \dots] = 2.31303673643\ldots$( A064442 ), który następnie kompresuje dane wszystkich liczb pierwszych w bardziej naturalny i efektywny sposób niż po prostu$2.\mathbf{3}5\mathbf{7}11\mathbf{13}17\mathbf{19}\ldots$. Wspomniana praca dostarcza innego ciekawego sposobu kompresji liczb pierwszych, który wykorzystuje postulat Bertranda , tj$p_n < p_{n+1} < 2p_n$. Ten sposób jest rodzajem alternatywy dla ułamków ciągłych. Na podaną liczbę$\beta \ge 2$, rozważ relację powtarzania $u_1=\beta$ i $$u_{n+1} = \lfloor u_n \rfloor (u_n - \lfloor u_n \rfloor + 1).$$ Pozwolić $a_n= \lfloor u_n \rfloor $. Następnie$a_n \le a_{n+1} < 2a_n$ a wspomniany artykuł to potwierdza $$\beta = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}-1}{\prod_{i=1}^{n-1}a_i}$$ oznaczony, powiedzmy, $(a_1,a_2,a_3, \dots )$.
We wspomnianym artykule:
Twierdzenie 1 : Niech$(a_n)$ być ciągiem dodatnich liczb całkowitych, takich jak:
- $a_n < a_{n+1} < 2a_n$,
- $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to 1$
następnie $\beta := (a_1,a_2,a_3, \dots ) := \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}-1}{\prod_{i=1}^{n-1}a_i}$ jest irracjonalne.
Wynika z tego, że liczba $(p_1,p_2,p_3,\dots) = 2.920050977316\ldots$ jest irracjonalne.
Pytanie : Czy Twierdzenie 1 można udowodnić za pomocą jakichś znanych wcześniej metod?
Uwaga : Pierwszy punkt Twierdzenia 1 można złagodzić$a_n \le a_{n+1} < 2a_n$, gdy $(a_n)$ nie jest ostatecznie stała.
Dla danego wielomianu niestałego $P \in \mathbb{Z}[X]$ z pozytywnym terminem wiodącym i $P(n) \neq 0$ dla wszystkich $n \in \mathbb{N}_{\ge 1}$, rozważ $a_n=P(n)$. Wtedy łatwo jest wywnioskować z Twierdzenia 1, że liczba$e_P\mathrel{:=}(a_1,a_2, \dotsc )$jest irracjonalne. Na przykład weź$P(X)=X^k$, z $k \in \mathbb{N}_{\ge 1}$, następnie $$e_k:= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^k-1}{n!^k}$$jest irracjonalne. Zwróć na to uwagę$e_1 = e$to liczba Eulera .
Poniższy wynik dotyczy alternatywnego dowodu irracjonalności $e_k$ dla wszystkich $k$, i $e_P$ dla wielu $P$(nie wszyscy), ale nie dla$(p_1,p_2,p_3, \dots)$
Twierdzenie 2 : Niech$(a_n)$ być ciągiem dodatnich liczb całkowitych, takich jak:
- $a_n \le a_{n+1} < 2a_n$,
- $\forall k \in \mathbb{N}_{\ge 1}$, $\exists m$ takie że $k$ dzieli $a_m$,
następnie $\beta := (a_1,a_2,a_3, \dots ) := \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}-1}{\prod_{i=1}^{n-1}a_i}$ jest irracjonalne.
dowód : Załóżmy, że$\beta = \frac{p}{q}$. Z założenia jest$m$ takie że $q$ dzieli $a_m$. We wspomnianym artykule, jeśli$u_1=\beta$ i $u_{n+1} = \lfloor u_n \rfloor (u_n - \lfloor u_n \rfloor + 1)$, następnie $a_n= \lfloor u_n \rfloor $. Łatwo to zobaczyć$u_n$ zawsze można zapisać z mianownikiem równym $q$(prawdopodobnie nie uproszczone). Wynika, że$u_{m+1}=a_m(u_m-a_m+1)$ i to $a_m u_m$jest liczbą całkowitą. Więc$u_{m+1}$jest liczbą całkowitą. Wynika z tego dla wszystkich$n>m$ następnie $u_n=u_{m+1}$, a więc $a_n=a_{m+1}$. Ale wynika to z drugiego punktu Twierdzenia 2$a_n \to \infty$, sprzeczność. $\square$
Poniższy przykład pokaże, że warunek $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to 1$ nie jest konieczne dla irracjonalności.
Rozważać $a_n=\lfloor \frac{3^n}{2^n} \rfloor + r_n$, z $0 \le r_n < n$ takie że $n$ dzieli $a_n$. Dostosuj sekwencję dla$n$mały, tak że zachodzi pierwszy punkt Twierdzenia 2. Następnie$\beta$ jest irracjonalne, podczas gdy $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{3}{2} \neq 1$.
Pytanie dodatkowe : Jaki jest konieczny i wystarczający warunek irracjonalności?
Joel Moreira zasugerował w tym komentarzu , że może to być racjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy$(a_n)$jest ostatecznie stała. Zobacz nowy post Czy te wymierne ciągi zawsze osiągają liczbę całkowitą? poświęcony temu pytaniu.
FYI, łatwo to obliczyć $$\pi = (3, 3, 4, 5, 5, 7, 10, 10, 13, 17, 31, 35, 67, 123, 223, 305, 414, 822, 1550, 2224, ...) $$
Odpowiedzi
Przepraszam, jeśli komentarz jest mylący i zapraszam do wskazania błędów w poniższym dowodzie. To jest wyjaśnienie poprzedniego komentarza.
A to tylko dowód na irracjonalność $e_k$.
A strategia dowodzenia jest imitacją dowodu Fouriera na irracjonalność liczby Eulera$e$.
gdyby $\forall n=\mathbb{N}^{*} \quad n$, $n$ wystarczająco duży, $$ \left(n!\right) \cdot a \notin \mathbb{Z} \quad \text { then } a \notin \mathbb{Q} \hspace{1cm}(1) $$
WLOG, w poniższych obliczeniach nie rozróżniamy $x,y$ gdyby $x-y\in \mathbb{Z}$. I piszemy$x=y+\mathbb{Z}$ iff $x-y\in \mathbb{Z}$.
$\begin{aligned} m ! e_{k} +\mathbb{Z}&=\sum_{n \geq m+1} \frac{(n+1)^{k}-1}{(m+1) \cdots(n-1) n)^{k}}+\mathbb{Z} \\ &=\sum_{n \geqslant m+2} \frac{(n+1)^{k}-1}{((n-1) \cdots(n-1) n)^{k}}+\frac{(m+2)^{k}-1}{(m+1)^{k}}+\mathbb{Z}\\ &=\sum_{n \geq m+2} \frac{(n+1)^{k}-1}{((m+1) \cdots(n-1) n)^{k}}+\sum_{i=1}^{k-1} \frac{C_{k}^{i} \cdot(m+1)^{i}}{(m+1)^{k}}+1 +\mathbb{Z}\\ &=\sum_{n \geqslant m+2} \frac{(n+1)^{k}-1}{( m+1) \cdots(n-1) n)^{k}}+\sum_{i=1}^{k-1} \frac{C_{k}^{i}}{(m+1)^{i}}+\mathbb{Z}\hspace{1cm}(*) \end{aligned}$
W rzeczywistości w $(*)$ mamy $\sum_{n \geqslant m+2} \frac{(n+1)^{k}-1}{((m+1) \cdots(n-1) n)^{k}}= O(\frac{1}{m^{k}})$, $\sum_{i=1}^{k-1} \frac{C_{k}^{i}}{(m+1)^{i}}=O(\frac{1}{m})$.
Teraz weź $m$ w rzeczywistości wystarczy $m=10000\cdot k^{100}$ jest w porządku $$0< \sum_{n \geqslant m+2} \frac{(n+1)^{k}-1}{((m+1) \cdots(n-1) n)^{k}}+\sum_{i=1}^{k-1} \frac{C_{k}^{i}}{(m+1)^{i}}< 1$$
Więc $(*)\neq \mathbb{Z}$, więc $(1)$ jest prawdziwy, $ e_{k}$ nie jest racjonalne.