Alternatywne żądanie dowodu: Jeśli $C=\{x^2,x\in S\}$, pokazują, że $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$

Question

Na to pytanie można odpowiedzieć tylko za pomocą twierdzeń o ciągłości funkcji nie malejącej. Chociaż (myślę, że) rozumiem odpowiedź, mam to samo ćwiczenie, ale nadal nie studiowaliśmy ciągłości, badamy liczby rzeczywiste i przygotowujemy się do badania sekwencji. Być może widząc tę ​​odpowiedź, jedynym sposobem, w jaki mogę to udowodnić, jest również użycie ciągłości, ale musi istnieć sposób bez korzystania z tych twierdzeń o ciągłości. Czy ktoś mógłby mi pokazać, jak to udowodnić, używając tylko liczb rzeczywistych / supremum / infimum / etc?

Każda pomoc będzie mile widziana.

Answer 1

Wskazówka

• Przypuszczać $S\subset [0,\infty )$. Pozwolić$c=\sup C$ i $s=\sup(S)$. Pozwolić$\varepsilon >0$. Jest$x\in C$ św $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$. Ponieważ dotyczy wszystkich$\varepsilon >0$, my $c\leq s^2$.

• Przypuszczam, że $c<s^2$, czyli jest $x\in S$ św $c<x^2\leq s^2$. To zaprzecza faktowi, że$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$.

W związku z tym $c=s^2$ zgodnie z życzeniem.

---

Pozwolę ci dostosować dowód w przypadku, gdy $S\subset \mathbb R$ zamiast $S\subset [0,\infty )$ tylko.