Atiyah's dowód na przestrzeń modularną nieredukowalnych połączeń SD
W artykule "Self-duality in Four-wymiarowa Riemannowska geometria" (1978) Atiyah, Hitchin i Singer przedstawiają dowód na to, że przestrzeń samo-dualnych, nieredukowalnych połączeń Yanga-Millsa jest rozmaitością Hausdorffa, a jeśli nie jest pustą ustawiony, to wymiar jest podany przez $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Gdzie $\chi(M)$ jest cechą Eulera i $\tau(M)$ podpis.
EDYCJA: Okazuje się, że oryginalny papier zawierał błąd / literówkę. W rzeczywistości tak powinno być$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Koniec edycji.
Chociaż chciałbym móc zrozumieć cały artykuł, nie jestem jeszcze w stanie tego zrobić, próbuję tylko zrozumieć obliczenia tego wymiaru, ponieważ interesują mnie niektóre zastosowania Atiyah- Twierdzenie o indeksie Singera.
Aby obliczyć ten wymiar, w artykule wykorzystano: Let$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ być operatorem Diraca dla wiązki spinora z wartościami w jakiejś wiązce pomocniczej $E$. Według twierdzenia o indeksie$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ W wymiarze czwartym mamy $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(ale gdzie to jest używane?). Jako dowód bierzemy$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Następnie$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Jak na razie dobrze. Tracę kontrolę w następujących obliczeniach:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Gdzie $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Próbowałem znaleźć wynik, który wyjaśnia czerwoną część równania, ponieważ ten krok wydaje się całkowicie nietrywialny, a mimo to nie jest w ogóle omówiony w artykule i nie jestem w stanie znajdź źródła, które wyjaśniają ten krok. W Indeksie operatora Diraca i znaku Cherna symetrycznej wiązki skręcania produktu przyjęta odpowiedź wydaje się dawać odpowiedź, która w pewnym stopniu wyjaśnia, w jaki sposób uzyskuje się ten wynik w bardzo szczególnym przypadku. Nie mam jednak dużego doświadczenia w tej dziedzinie i nie wiem, jak uogólnić wynik na arbitralnego mocodawcę$G$-pakiet. Szukam wyjaśnienia powyższego, czy ktoś jest w stanie udzielić własnej odpowiedzi lub referencji. Każdy z nich byłby bardzo doceniony.
Odpowiedzi
Mam nadzieję, że dobrze to pamiętam. Mój doradca wyjaśnił mi te obliczenia, nie chcę nawet myśleć, ile lat temu.
Kompleks deformacji równania SD wynosi $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$
$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$
Wskaźnikiem tego operatora jest wymiar przestrzeni modułowej połączeń samodwójnych. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Ten operator jest uzyskiwany przez skręcenie za pomocą $\Ad(P)$ operator
$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$
To jest operator $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ w artykule, o którym wspomniałeś.
Dowodzi tego teoria indeksu Atiyah-Singera $\ind L$ jest
$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$
gdzie $[--]_4$ oznacza stopień $4$ część niejednorodnej formy różniczkowej.
Wnioskujemy
$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$
$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$
gdzie stopień $4$ z $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ jest gęstością indeksu $D$ pojawiające się w twierdzeniu o indeksie Atiyaha-Singera $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$
A zatem
$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$
Teraz wyraź $(b_1-b_2^--b_0)$ pod względem podpisu $\tau=b_2^+-b_2^-$ i charakterystyka Eulera $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.