Bezpośrednie znajdowanie śladu systemu
Weź pod uwagę, że pracujemy ze wspólnym systemem składającym się z systemu A z podstawą $|\alpha_j\rangle$ i system B z podstawą $|\beta_j\rangle$.
W moich notatkach operator gęstości jest oznaczony następująco:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
gdzie moje notatki to stwierdzają $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
Podają również następujące równania dla śladu A i śladu B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
Moje główne pytanie brzmi: jak można pisać $\rho_{j,l,k,l}$ i $\rho_{j,l,j,m}$ wyraźnie, ponieważ to, co otrzymuję, nie wydaje się zgadzać z sprawdzonym przykładem w mojej książce, więc jestem dość zdezorientowany.
Dzięki
Odpowiedzi
No bo gdybym miał to zrobić sam, napisałbym to następująco: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Jednak nie jestem pewien, ponieważ przykłady, które widziałem, sugerują, co następuje $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
Wygląda na to, że źle rozumiesz ideę iloczynu tensorowego stanów, więc pokrótce to omówię. Pozwolić$\mathcal H_A$ i $\mathcal H_B$ być przestrzeniami Hilberta i niech $\alpha \in \mathcal H_A$ i $\beta \in \mathcal H_B$. Iloczyn tensora$\alpha$ i $\beta$ to uporządkowana para $(\alpha,\beta)$ który ma następujące właściwości:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ dla wszystkich $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ dla wszystkich $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ dla wszystkich $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
Zamiast pisać $(\alpha,\beta)$ dla iloczynu tensorowego zapisywanie jest notacją standardową $\alpha \otimes \beta$.
Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta $\mathcal H_A$ i $\mathcal H_B$ jest przestrzenią wszystkich iloczynów tensorowych postaci $\alpha\otimes \beta$ z $\alpha\in\mathcal H_A$ i $\beta \in \mathcal H_B$, I wszystkie ich kombinacje liniowych . Przyjmuje się, że iloczyn wewnętrzny w tej przestrzeni jest
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Dlatego element $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ może wyglądać
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
Z definicji jasno wynika, że $\alpha$ i $\gamma$ należeć do $\mathcal H_A$ podczas $\beta$ i $\delta$ należeć do $\mathcal H_B$. Ponownie zgodnie ze standardową konwencją ponownie używamy symbolu$\otimes$ i oznacz iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta według $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Jeśli chcesz pracować z notacją Diraca, możesz napisać coś takiego $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. Odpowiedni stanik byłby$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Jeśli pozwolimy$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, następnie
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
Konwencja jest taka, że niezależnie od tego, czy mówisz o biustonoszu, czy kecie, należy do pierwszej ilości w produkcie tensorowym $\mathcal H_A$ (lub jego podwójna przestrzeń), a druga należy do $\mathcal H_B$ (lub jego podwójna przestrzeń).
Biorąc to wszystko pod uwagę, twój wyraz twarzy
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
nie ma to dla mnie sensu, ponieważ zestaw produktów tensora po prawej stronie jest w złej kolejności.
Przede wszystkim należy zauważyć, że tak rozumiesz $\rho_{ijk\ell}$to przede wszystkim kwestia konwencji. To powiedziawszy, niektóre konwencje są z pewnością bardziej „naturalne” niż inne.
Można o tym pomyśleć, że składniki macierzy $\rho$ w przestrzeni złożonej $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$to nic innego: komponenty macierzy w jakiejś przestrzeni. Jeśli używasz indeksów$I,J$ aby oznaczyć elementy podstawy $\mathcal H$, możesz zapisać składniki macierzy jako $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Jednak ta notacja nie uwzględnia dwudzielnej struktury $\mathcal H$. Aby to zrobić, zauważamy, że zawsze możemy znaleźć podstawę$\mathcal H$ który jest zbudowany z podstaw $\mathcal X$ i $\mathcal Y$. W ten sposób możemy oznaczyć podstawowe elementy$\mathcal H$za pomocą dwóch indeksów, oznaczających odpowiednie elementy bazowe$\mathcal X$ i $\mathcal Y$. Innymi słowy, możemy pisać$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Wtedy zamiast indeksu $I$, powiedzmy, używamy pary indeksów $(i,j)$. Elementy macierzy$\rho$ następnie stać się $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$gdzie uwzględniam różne równoważne sposoby pisania wyrażenia. Zauważ, że napisałem indeksy „wejścia” i „wyjścia”$\rho$ za pomocą par $(i,j)$ i $(k,\ell)$tutaj, aby podkreślić różne role, jakie odgrywają indeksy. Dla zwięzłości zwykle tego nie robi się i po prostu pisze$\rho_{ijk\ell}$ znaczyć $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
Teraz możesz również zdecydować się na użycie $\rho_{ijk\ell}$ oznaczać coś takiego $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Byłby to jednak niezręczny zapis.