Bi-anihilator podprzestrzeni dualności nieskończenie-wymiarowej przestrzeni wektorowej
Pozwolić $V$być nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową i$V^*$jego podwójny.
Dla podprzestrzeni liniowej$W\subset V$ definiować $W^ \circ\subset V^*$ jako podprzestrzeń form liniowych $V$ znikają $W$.
Podwójnie za$\Gamma\subset V^*$ definiować $\Gamma^\diamond \subset V$ jako zbiór wektorów $v\in V$ takie że $\gamma(v)=0$ dla wszystkich form liniowych $\gamma\in \Gamma$.
To trochę zaskakujące, ale nie jest zbyt trudne, aby pokazać, że mamy dla wszystkich podprzestrzeni$W\subset V$ równość $(W^\circ) ^\diamond=W$.
Ale czy to prawda, że dla wszystkich$\Gamma\subset V^*$ mamy $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
Czy istnieje odniesienie (artykuł, książka, notatki z wykładów, ...), w którym wspomniano o tym problemie?
Odpowiedzi
Nie, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ nie zawsze muszą być równe $\Gamma$. Pozwolić$\mathcal B$ być podstawą do $V$, i pozwól $\Gamma$ być rozpiętością zbioru „podwójnego” $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, więc $e_b(c)$jest nawiasem Iverson $[b = c]$ dla wszystkich $b, c \in \mathcal B$. Następnie$\Gamma^\diamond$ jest $0$, więc $(\Gamma^\diamond)^\circ$ to wszystko $V^*$; ale$\Gamma$ sama w sobie nie zawiera na przykład elementu $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ z $V^*$.
Ogólnie rzecz biorąc, równość jest fałszywa.
Oto kontrprzykład: napraw podstawę$v_i, i\in I$ z $V$ i rozważ zbiór współrzędnych form liniowych $v^*_i, i\in I$.
Te formy są liniowo niezależne, ale od tego czasu nigdy nie stanowią podstawy$V$jest nieskończenie wymiarowy.
Więc wypełnij te formularze do podstaw$(v^*_j), j\in J$ z $J\setminus I\neq\emptyset$.
Wybierać$l\in J\setminus I$ i umieścić $J'=J\setminus \{l\}$
Jeśli zdefiniujesz $\Gamma \subset V^*$ jako przestrzeń wektorowa wygenerowana przez $v_j^*, j\in J'$, następnie $\Gamma^\diamond =0$ (ponieważ już podprzestrzeń $V^*$ wygenerowane przez $v_i^*, i\in I$ zabij wszystkie wektory w $V$) tak, że $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ dając wymagany kontrprzykład.