Co dzieje się z fazą po załamaniu się funkcji falowej?
Załóżmy, że jest to początkowy stan kwantowy $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$, gdzie $\phi_i$ jest funkcją własną z wartością własną $\lambda_i$jakiegoś operatora pomiarowego. Po pomiarze znajdziemy system w stanie$\phi_i$ z prawdopodobieństwem $|a_i|^2$.
Co dzieje się z fazą po pomiarze? Zasada, że natychmiastowe kolejne pomiary powinny zawsze zwracać tę samą wartość, byłaby spełniona niezależnie od powstałej fazy. Możemy znaleźć system w dowolnym stanie$b\phi_i$, tak długo aż $|b|^2=1$. Jestem pewien, że postulaty mechaniki kwantowej coś na ten temat precyzują, ale nie udało mi się znaleźć żadnego tekstu, który by to rozwiązał. Co powinien$b$ być?
Odpowiedzi
W mechanice kwantowej stany są reprezentowane przez promienie w przestrzeni Hilberta, a dokładniej, przestrzeń stanów jest przestrzenią projekcyjną Hilberta - na przykład dla skończonego układu wymiarowego przestrzeń jest$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$, gdzie dla $u, v \in H_n$, $u \sim v$ Jeśli $u = \alpha w$ dla jakiejś niezerowej liczby zespolonej $\alpha$.
Teraz zwykle wolimy pracować z prostą przestrzenią Hilberta niż rzutową, decydując się na nałożenie ilorazu, gdy jest to przydatne - po prostu dlatego, że podczas pracy z przestrzeniami Hilberta mamy do dyspozycji znacznie więcej przydatnych narzędzi.
Należy jednak zawsze pamiętać, że rzeczywista przestrzeń stanów jest przestrzenią projekcyjną Hilberta, co oznacza, że stwierdzenie „Możemy znaleźć system w dowolnym stanie $b\phi_i$ tak długo jak $|b|^2 = 1$”jest bez znaczenia, ponieważ nie ma oddzielnych stanów $b\phi_i$- nie jest też tak, że wszystkie te stany są „takie same” - prawdziwy powód jest taki, że jest tylko jeden stan$\phi_i$ w rzutowej przestrzeni Hilberta.
Zapadnięcie się funkcji falowej to tylko fikcja, której używamy, ponieważ realistyczne opisanie pomiarów jako splątania obserwatora z obserwowaną rzeczą z dekoherencją byłoby kłopotliwe.
Faza w mechanice kwantowej nie jest obserwowalna. Możesz tylko określić fazę czegoś w stosunku do czegoś innego. Faza$b_1$stanu po zmierzeniu, że system jest w stanie 1, sam w sobie nie ma żadnego znaczenia. Musiałbyś porównać to z inną fazą, na przykład fazą$b_2$ systemu, który jest powiązany z osobą, która zmierzyła, że jest w stanie 2. Gdybyś mógł to zrobić, sensowne byłoby na przykład powiedzieć, że $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$ma jakąś wartość. Aby to zrobić, musiałbyś zrobić coś w rodzaju pomiaru interferencji między osobą w stanie 1 a osobą w stanie 2. Ale cały powód, dla którego upadek jest dobrym przybliżeniem, jest taki, że dekoherencja uniemożliwia nam wykrycie tego rodzaju zakłóceń , więc osoba 1 mogłaby równie dobrze przestać śledzić istnienie drugiej możliwości.
Po pomiarze znajdziemy system w stanie $\phi_i$ z prawdopodobieństwem $|a_i|^2$.
Prawie poprawny stan końcowy to $$a_i\phi_i,$$to tylko wynik zastosowania operatora rzutowania. Jeśli chcemy, możemy to znormalizować$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$ale powinniśmy to robić tylko wtedy, gdy wiemy, że nie będziemy go porównywać ani nakładać na inne stany. Normalizując ją, dzielimy ją przez liczbę rzeczywistą , co nie usuwa fazy. Faza ogólna nie jest ważna tylko wtedy, gdy nie planujemy porównywać / nakładać stanu z innymi stanami.
Jednym ze sposobów, aby zobaczyć, że stan końcowy jest $a_i\phi_i$lub jeśli chcemy, aby jego znormalizowany kuzyn z nienaruszoną fazą, najpierw wyobrazić sobie, że wszystko oprócz $i$współczynniki $a_j$są równe 0 i uwzględnij ogólny stan systemu + aparatury po pomiarze. Dzięki ciągłości natychmiast po pomiarze stan ogólny jest dokładnie taki sam, jak bezpośrednio przed pomiarem (w tym pytaniu mówimy o chwilowych załamaniach). Dlatego powinniśmy przypisać stan post-pomiarowej systemu będzie także to, co zostało natychmiast wstępnego pomiaru,$a_i\phi_i$. Cokolwiek innego byłoby dziwacznym, niepotrzebnym krokiem ad hoc.
W ogólnym przypadku, przy niezerowych innych współczynnikach, to samo powinno być prawdą z punktu widzenia liniowości, ponieważ załamanie stanu oznacza po prostu zachowanie tylko jednej z otrzymanych gałęzi.