czwarte momenty obciętych zmiennych jednostkowych wariancji są sumowane

Question

W artykule znalazłem:

Jeśli $X$ jest więc rv z zerową średnią i skończoną wariancją $$ \sum_N \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right]<+\infty $$

i staram się zrozumieć, jak to udowodnić. To znaczy, próbowałem dokonać klasycznej oceny$$ \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N \mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N $$ale to nie wystarczy. Chyba mogę dostać$o(N)$, ale to wciąż za mało.

Próbowałem też wymyślić jakiś kontrprzykład, ale na przykład ciągły rozkład z gęstością z ogonem $O(x^{-k})$ wymagania $k>3$ mieć skończoną wariancję, która pokrywa się z warunkiem uzyskania sumowania.

I jeśli $X$ ma rozkład ze zwartą podporą, wtedy wszystkie momenty są ograniczone tą samą stałą, więc następuje sumowanie.

Answer 1

Ok, prawdopodobnie to rozumiem.

$$ \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] = \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \sum_{n=1}^{N}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\sum_{N=n}^{\infty} \frac 1 {N^2} \\ \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac 2n\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ \le \sum_{n=1}^{\infty}2\mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right] = 2 \text{Var}(X) <+\infty $$