Czy Aut (G) → Out (G) zawsze dzieli się na zwartą, połączoną grupę Lie G?

Question

Zewnętrzna grupa automorfizmu grupy topologicznej $G$ jest skonstruowana przez krótką dokładną sekwencję $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$Ta sekwencja nie zawsze jest podzielona, ​​patrz Non-split Aut (G)$\to$Out (G)? , na przykład dla grupy dyskretnej$G = A_6$.

Interesuje mnie przypadek, w którym $G$to kompaktowa, połączona grupa Lie. Czy w tym przypadku sekwencja zawsze się rozdziela? (Gdyby$G$ ma prostą algebrę Liego $\mathfrak{g}$wierzę, że odpowiedź brzmi tak ).

Answer 1

Tak, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$zawsze dzieli. Dowód jest taki sam, jak w mojej odpowiedzi na twoje pytanie. Klasyfikacja (niekoniecznie powiązanych) zwartych grup Lie : uwaga$\operatorname{Aut}(G)$ jako rozszerzenie $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ przez odrębną grupę $\operatorname{Out}(G)$i podnieś $\operatorname{Out}(G)$ do $\operatorname{Aut}(G)$jako automorfizmy, które zachowują przypięcie w znaczeniu tej odpowiedzi . (Są one często nazywane „automorfizmami diagramów”). W tym innym pytaniu nie otrzymaliśmy uczciwej części grupy składowej wewnątrz grupy Lie, ponieważ nie założyłeś, że komponent tożsamości jest bezśrodkowy, ale ponieważ grupa przylegająca$\operatorname{Inn}(G)$ jest bezkresny, tutaj wszystko jest w porządku.