Czy elementy dwóch abelowych podgrup normalnych dojeżdżają do pracy?
Więc $H$ i $K$są normalnymi abelowymi podgrupami jakiejś grupy. Czy to prawda dla wszystkich$h \in H$ i dla wszystkich $k \in K$ że $hk=kh$? Nie sądzę, aby to stwierdzenie było słuszne, ale nie mogę znaleźć (raczej prostego) kontrprzykładu.
Odpowiedzi
Pozwolić $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ być grupą kwaternionów rzędu $8$. Rozważać$H=\{\pm1,\pm i\}$ i $K=\{\pm1,\pm j\}$.
Najłatwiejszym kontrprzykładem jest grupa dwuścienna $D_8$, powiedz wygenerowane przez $a$ zamówienia $4$ i $b$ zamówienia $2$. Każdy element$D_8$ leży w normalnej podgrupie porządku $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ i $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Wszystkie są oczywiście abelowe, ponieważ mają porządek$4$. Jeśli twoje oświadczenie się utrzymało, to$D_8$ byłby zatem abelowy, co oczywiście nie jest.
Przykład $Q_8$z pozostałych dwóch odpowiedzi jest oczywiście całkowicie słuszne. W rzeczywistości, jeśli$G$ jest dowolną nieabelową grupą porządku $p^3$ wtedy każdy element należy do podgrupy porządku $p^2$ (która z konieczności jest abelowa i normalna), a więc każda nieabelowa grupa porządku $p^3$ jest kontrprzykładem.
Każda grupa hamiltonowska poda z definicji kontrprzykład, ponieważ każda podgrupa cykliczna jest abelowa i normalna, ale można znaleźć dwie cykliczne podgrupy z generatorami, które nie dojeżdżają do pracy.
Najmniejszym takim przykładem jest grupa kwaternionów $Q_8$.