Czy istnieje powód, dla którego ta technika jest nieważna?
Co jest $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Prostym sposobem oceny tego limitu jest podstawienie$0$ dla $x$ w liczniku do uzyskania
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $
od $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ ponieważ jedna wielkość odjęta od tej samej wielkości wynosi 0. Ta technika pozwala uniknąć problemu dzielenia przez zero, wykorzystując fakt, że $\cos(0)$ jest znany.
Odpowiedzi
Nie, nie możesz tego twierdzić $x=0$ w liczniku podczas $x\ne0$ w mianowniku!
Używając Twojej metody, prostym sposobem oszacowania tego limitu jest podstawienie $0$ dla $x$ w mianowniku do uzyskania $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ ponieważ licznik jest różny od zera.
Kontrprzykład :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ W rzeczy samej $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, więc $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$
@ChristinaDaniel OK, oto kontrprzykład: rozważ wyrażenie $\frac{\sin 2x}{x}$ i pozwól $x$ idź do zera: odpowiedzią na ten limit jest $2$. Rozważmy teraz wyrażenie$\frac{\sin 2x-0}{x}$ dla $x$idąc do zera. Odpowiedź na ten limit jest wciąż$2$. Ale$\sin0=0$ więc możemy teraz rozważyć wyrażenie $\frac{\sin 2x-x}{x}$, znowu z $x$idąc do zera. Ale teraz ten limit jest$1$. Więc kiedy wykonujesz „częściowe” podstawienie, odpowiedź się zmienia. Innymi słowy, kiedy zastępujesz$x$, musisz to zrobić dla każdego $x$ w wyrażeniu.
Pozwolić $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Chcemy znaleźć$\lim_{x\to e}f(x)$.
Użycie proponowanej metody zwróciłoby złą odpowiedź.

To jest nieważne.
Nie można zastąpić zmiennej stałą w jednej części wyrażenia, ale pozostawić ją jako zmienną w innej.
Jeśli chcesz oszacować limit, zastępując zmienną stałą, musisz ją zastąpić wszędzie. Jeśli to zrobisz, ge$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ i to nam wcale nie pomaga.
Musimy założyć $x \ne 0$ a jeśli go zastąpimy, musimy go zastąpić $x = h\ne 0$ i otrzymujemy $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$i nie możemy ich wymienić$h$ z $0$ na górze, a nie na dole, ponieważ $h$ ISN "T $0$. I cokolwiek$x$ w liczniku jest $x$ w mianowniku musi być to samo.
.....
Powodem błędu jest to, że trochę kręcenie na górze $x\approx 0$ znaczy $\cos x \approx \cos 0$nie wpłynie zbytnio. Ale to jest złe. Krówka na dnie robi ogromną różnicę.$\frac 1x \not \approx \frac 10$. Nie, nie.
Kompletne nie, nie.
I całkowicie nieważne.