Czy ktoś ma $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$?

Question

Zgodnie z przypuszczeniami Goldbacha, próbuję znaleźć górną granicę dla $r_{0}(n):=\inf\{r>0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ to uogólniłoby przypuszczenie Cramera.

Oznaczanie przez $k_{0}(n)$ ilość określona jako $\pi(n+r_{0}(n))-\pi(n-r_{0}(n))$, wygląda na to że $2r_{0}(n)\lesssim k_{0}(n)(\log n)^{1+1/k_{0}(n)}$.

Czy istnieje heurystyka sugerująca, że ​​tak się dzieje, czy też jest to warunkowy dowód?

Answer 1

To przypuszczenie jest nie do pogodzenia z przypuszczeniem Cramera. Rzeczywiście, Cramer przewiduje, że dla arbitralnie dużych$k$ mamy $p_{k+1}-p_k\gg(\log p_k)^2$. Pozwolić$n=\frac{p_{k+1}+p_{k-1}}{2}$. Następnie$r_0(n)=\frac{p_{k+1}-p_{k-1}}{2}\gg(\log n)^2$, podczas $k_0(n)=\pi(p_{k+1})-\pi(p_{k-1})=2$, więc twoje przypuszczenie by to przewidziało $(\log n)^2\ll(\log n)^{3/2}$co oczywiście zawodzi.