Czy można zdefiniować odchylenie od liczb nieujemnych do dodatnich? [duplikować]

Question

Pozwolić $\mathbb{R}_{\geq 0}$ być zbiorem liczb nieujemnych i $\mathbb{R}_{>0}$ to znaczy zbiór liczb dodatnich

$$ \mathbb{R}_{\geq 0} = \{\,x \geq 0 \mid x \in \mathbb{R} \,\} $$

i

$$ \mathbb{R}_{> 0} = \{\,x > 0 \mid x \in \mathbb{R} \,\} $$

Czy można zdefiniować bijekcję $f$ między tymi dwoma zestawami?

Answer 1

Tak oczywiście. Najpierw odwzoruj na siebie każdą liczbę, która nie jest nieujemną liczbą całkowitą. Następnie zamapuj każdą nieujemną liczbę całkowitą n na n + 1.

Answer 2

Możesz też wziąć każdy $[n,n+1)$ interwał i zmapuj go na $(n,n+1]$ odzwierciedlając to.

Pomysł polega na mapowaniu $[0,\infty)$ w $(0,\infty]$ przez $\frac{1}{x}$, ale możemy to zrobić tylko wtedy, gdy uwzględniamy prawą skrajność drugiego przedziału. Na szczęście możemy się osłonić$\mathbb{R}$ z przerwami o takiej formie.

Answer 3

Oczywiście. Niech f będzie ze zbioru z 0 do zbioru bez 0:

f (x) = x, gdy x nie jest liczbą całkowitą;

f (0) = 1

f (1) = 2

f (2) = 3

itp.

Answer 4

Mają tę samą liczność, więc istnieje bijekcja. Wspomniałeś w komentarzu, że interesuje Cię również funkcja, która nie ma żadnych stałych punktów. Możesz dostosować odpowiedź roddicka, po prostu mieszając interwały. Na przykład możesz wysłać$[0,1)$ do $(10,11]$, $[1,2)$ do $(11,12]$, $[2,3)$ do $(0,1]$, i tak dalej.