Czy norma 2 macierzy jest ograniczona przez maksimum jej normy 1 i normy Nieskończoności?

Jan 01 2021

Implementuję algorytm w „Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy” Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001.

W tym algorytmie unikałbym obliczania normy 2 macierzy kwadratowej o rzeczywistych wartościach $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Eksperymenty numeryczne sugerują mi, że obowiązuje następująca górna granica

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

Czy ktoś może potwierdzić, czy ta nierówność zawsze się utrzymuje? Dziękuję i szczęśliwego Nowego Roku!

Jeden użytkownik zauważył, że implikuje to Cauchy-Schwarz

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

co w niektórych przypadkach poprawia wiązanie, ale nie zawsze. Mam więc nadzieję, że moje pierwsze pytanie jest nadal aktualne. Doceniony byłby również kontrprzykład dla sugerowanej nierówności, jeśli taka istnieje.

Odpowiedzi

datahaki Jan 01 2021 at 08:43

W rzeczy samej:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

wynika z

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

co - według Wikipedii - jest szczególnym przypadkiem nierówności Höldera.