Czy poprawnie wykonuję formuły Vieta?

Question

Dostałem to ćwiczenie: $x^2 - (m+3)x + m + 2$, Mam sprawdzić, dla jakich rzeczywistych wartości parametru $m$ można użyć do tego do pracy:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (Mnożę obie strony przez 2x1x2) i otrzymuję:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

co skutkuje $m > -4$ używając formuł Vieta

Potem mam kolejny argument, $x_1^2 + x_2^2 < 5$

Po rozwiązaniu to rozumiem $m$ jest w przedziale $(-4,0)$

Moja książka mówi mi o ostatecznym wyniku możliwym $M$ rozwiązania są w przedziale $(-2,0)$.

Co ja robię źle?

Answer 1

Nie możesz pomnożyć przez $x_1x_2$ ponieważ nie wiesz, czy jest to wielkość dodatnia, czy ujemna (pamiętaj, że znak nierówności musiałby się zamienić, gdyby był ujemny, i pozostać taki sam w przeciwnym razie).

Pamiętaj, co mówią formuły Viete'a $x_1+x_2 = m+3$ i to $x_1x_2 = m+2$. Możesz ich użyć, jeśli uprościsz lewą stronę:$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ więc chcesz to zapewnić $m$ jest taki, że $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ Nie możemy mnożyć się przez cały czas $m+2$ponieważ nie znamy jego znaku. Możemy pomnożyć przez$(m+2)^2$, to z pewnością nieujemne. To nam daje$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ co upraszcza do $$(m+2)(m+4)>0.$$ Iloczyn dwóch liczb to $>0$ albo jeśli są oboje $>0$lub jeśli są oboje $<0$.

W pierwszym przypadku (kiedy $m+2$ i $m+4$ są pozytywne), mamy $m>-2$ i $m>-4$, co jest po prostu równoznaczne z powiedzeniem $m>-2$.

W drugim przypadku (kiedy oba są ujemne) mamy $m<-2$ i $m<-4$, co oznacza to samo, co powiedzenie tego $m<-4$.

Podsumowując, twój stan jest równoznaczny z powiedzeniem tego $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$

Answer 2

W przypadku nierówności dobrym pomysłem jest łączenie ułamków, jeśli nie masz pewności co do ich znaków. Przykłady można znaleźć tutaj i tutaj .

Teraz $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ I $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

W związku z tym $-2<m<0$.