Czy tracimy jakieś rozwiązania, stosując rozdzielanie zmiennych do równań różniczkowych cząstkowych?
Na przykład rozważmy następujący problem $$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\hspace{0.5cm} u(x,0)=f(x),\hspace{0.5cm} u(0,t)=0,\hspace{0.5cm} u(L,t)=0$$Podręczniki (np. Paul's Online Notes ) zwykle stosują separację zmiennych, zakładając, że$u(x,t)=\varphi(x)G(t)$ bez żadnego wyjaśnienia, dlaczego można przyjąć takie założenie.
Czy w ten sposób tracimy rozwiązania, biorąc pod uwagę, że istnieją funkcje dwóch zmiennych $x$ i $t$ które nie są iloczynami funkcji pojedynczych zmiennych?
Rozdzielenie zmiennych daje następujące rozwiązanie, gdy rozważamy tylko warunki brzegowe: $$u_n(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t},\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
Równanie jest liniowe, więc możemy przyjąć superpozycję $u_n$: $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$$ gdzie $B_n$ znajdują się w stanie początkowym: $$B_n = \frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
Czy są rozwiązania $u(x,t)$które nie mogą być reprezentowane w ten sposób (nie dla tego konkretnego PDE, ale ogólnie)? Co dzieje się w przypadku równań nieliniowych? Czy możemy tam zastosować separację zmiennych?
Odpowiedzi
Rozważ swoje rzekome rozwiązanie $u(x,t)$ na stałe $t$tj. myśl o tym jako o funkcji $x$. Taką funkcję można rozszerzyć o pełny zestaw funkcji$f_n (x)$, $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n f_n (x) $$ Co się stanie, gdy teraz wybierzesz inną stałą $t$? O ile warunki brzegowe w$x$ kierunek się nie zmienia (co ma miejsce w twoim przykładzie), nadal możesz rozwijać w tym samym zestawie $f_n (x)$, więc jedyne miejsce, w którym $t$-zależność wchodzi we współczynniki $u_n $ - to one się zmieniają, gdy rozszerzasz inną funkcję $x$ w tym samym zestawie $f_n (x)$. A więc pełna funkcjonalna zależność$u(x,t)$ można zapisać jako $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n (t) f_n (x) $$Tak więc, wykonując ansatz separacji, nie zakładamy, że nasze rozwiązania są produktami. Stwierdzamy jedynie, że możemy zbudować podstawę formy produktu, w której nasze rozwiązania mogą być rozszerzone. Nie stanowi to ograniczenia dla dużej klasy problemów. Jak widać z poprzedniego argumentu, dzieje się to źle, gdy warunki brzegowe w$x$ kierunek zależy $t$ - wtedy nie możemy rozwijać się w tym samym zestawie $f_n (x)$ dla każdego $t$. Na przykład, jeśli domena byłaby trójkątna, tak że długość$x$-interval zależy od $t$, w twoim przykładzie staną się częstotliwości w funkcjach sinusoidalnych $t$-zależny.
Jak słusznie zauważyłeś, ostatecznie piszemy nasze rozwiązanie jako superpozycję możliwych do rozdzielenia rozwiązań, więc właściwe pytanie naprawdę „czy możemy wyrazić każde rozwiązanie do naszego PDE jako sumę możliwych do rozdzielenia rozwiązań”?
Dokładna odpowiedź na to pytanie wymaga trochę algebry liniowej. Chcemy znaleźć zestaw funkcji$\{\varphi_n(x): n \in \mathbb{N}\}$ tak, że za każdym razem $t$ napisz nasze rozwiązanie $f$ tak jak $f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$ gdzie $G_n$to tylko niektóre współczynniki, które mogą zależeć od czasu. Nie tylko istnieje taki zestaw funkcji, ale w rzeczywistości możemy znaleźć zbiór tych funkcji poprzez proces separacji zmiennych.
Rozważmy ponownie równanie ciepła. Oddzielając zmienne, redukujemy sytuację do dwóch zmiennych ODE:
$$G'(t) = EG(t), \varphi''(x) = \frac{E}{k}\varphi(x) $$ gdzie $E$ jest jakąś nieznaną stałą.
Pamiętaj, że zróżnicowanie jest liniowe, to znaczy dla funkcji $f$ i $g$ i stałe $a,b$ mamy $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b \frac{dg}{dx}$. Oznacza to, że nasze dwa ODE są problemami z wartością własną: mamy problem z wartością własną dla operatora$\frac{d}{dx}$ z wartością własną $E$oraz problem z wartością własną operatora $\frac{d^2}{dx^2}$ z wartością własną $\frac{E}{k}$.
Potrzebujemy wektorów własnych $\frac{d^2}{dx^2}$ (tj. rozwiązania naszego $\varphi$ODE), aby stworzyć podstawę naszej przestrzeni funkcji. Na szczęście istnieje twierdzenie, które robi dokładnie to dla nas.
Twierdzenie spektralne :
Pozwolić $V$ być przestrzenią Hilberta i $T: V \to V$(wystarczająco ładna) mapa samosprzężona. Istnieje wtedy podstawa ortonormalna dla$V$ który składa się z wektorów własnych dla $T$.
Aby nadać temu sens, potrzebujemy ostatniego składnika: produktu wewnętrznego. To tylko coś, co uogólnia znany „ iloczyn skalarny ” w trzech wymiarach. Iloczyn skalarny dwóch funkcji$f$, $g$ jest liczbą rzeczywistą, zdefiniowaną jako $$\langle f,g\rangle := \int_{0}^{\infty} f(x)g(x) dx$$.
Podstawa funkcji $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$nazywa się ortonormalnym, jeśli$\langle f_n, f_n \rangle = 1$ i $\langle f_n, f_m \rangle = 0$ gdy $n \neq m$.
Na koniec musimy tylko sprawdzić, czy operator $\frac{d}{dx}$jest samosprzężony. Oznacza to, że dla dowolnych dwóch funkcji$f$, $g$ mamy to $\langle \frac{d^2 f}{dx^2},g\rangle = \langle f,\frac{d^2g}{dx^2} \rangle$. Można to zrobić przez całkowanie przez części:
$$\int_{0}^{L} f''(x)g(x) dx = - \int_{0}^{L} f'(x)g'(x) dx = \int_{0}^{L} f(x)g''(x) dx$$ gdzie odrzuciliśmy warunki brzegowe, ponieważ warunki brzegowe mówią nam, że są zerowe.
Stąd operator $\frac{d^2}{dx^2}$ jest samosprzężony, więc twierdzenie widmowe mówi nam, że jego wektory własne tworzą podstawę dla naszej przestrzeni funkcyjnej, a więc dla dowolnego $t$możemy wyrazić dowolną wybraną funkcję jako$$f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$$Tak więc nie straciliśmy żadnych rozwiązań, w których możemy napisać równanie w ten sposób. Pominąłem tutaj kilka kwestii technicznych: nie powiedziałem ci, czym jest przestrzeń Hilberta, a kiedy mówię „dowolna” funkcja, mam na myśli „dowolną funkcję integrowalną do kwadratu”. Ale nie sądzę, żeby te szczegóły techniczne były ważne w zrozumieniu.
Jako fajny dodatek, teraz, gdy mamy nasz iloczyn wewnętrzny, możemy go użyć do prostego wyprowadzenia współczynników w naszym rozwiązaniu szeregowym. Nasze rozwiązanie piszemy jako$$f(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(t) G_n(x)$$ a teraz weźmy iloczyn skalarny $f$ z elementem bazowym $\varphi_n(x)$. To nam daje
$$\langle f(x,0), \varphi_n(x) = \langle \sum_{k=0}^{\infty} \varphi_k(x) G_k(0), \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle $$
Tutaj zamieniliśmy integrację i sumowanie. Wreszcie ortonormalność podstawy$\{\varphi_k(x)\}$ oznacza, że wszystkie wyrazy oprócz jednego są równe zero, więc otrzymujemy $$ \langle f(x,0), \varphi_n(x) = G_n(0) $$ Odwołaj to $G_n(t) = B_n e^{-k\frac{n\pi}{L}^2 t}$, więc $B_n = G_n(0)$ i pisząc naszą formułę iloczynu wewnętrznego w postaci całki, otrzymujemy $$\int_{0}^{L} f(x,0) \varphi_n(x) dx = \int_{0}^{L} f(x,0) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx $$ co jest naszym zwykłym wyrażeniem dla współczynników szeregów!
Metoda separacji zmiennych wywodzi się z symetrii równania, patrz np. Książka W. Millera Symmetry and Separation of Variables (nakład wyczerpany, ale dostępny tutaj ).
Rozdział zmiennych dla równań nieliniowych omawia Victor A. Galaktionov, Sergey R. Svirshchevskii w swojej książce Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman i Hall / CRC 2007.