Czy wszystkie wektory własne rzeczywistej macierzy symetrycznej są ortogonalne?
Jak nauczyłem się w algebrze liniowej, prawdziwa macierz symetryczna $A$ zawsze ma ortogonalne wektory własne, więc $A$ jest ortogonalna diagonalizowalna, ale czy wektory własne rzeczywistej macierzy symetrycznej są w całości ortogonalne?
W rzeczywistości, $A$ jest diagonalizowalna, więc możemy znaleźć odwracalność $P$ i $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Ale nie mogę tego udowodnić $P$ jest ortogonalna, mogę tylko to znaleźć $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Więc $P^{T}PS=SP^{T}P.$To nie może tego pokazać $P^{T}P=I_{n}.$
Więc to to $P$prostokątny? Jeśli nie, jaki jest jego związek z ortogonalnymi wektorami własnymi?
Swoją drogą natknąłem się na ten problem, kiedy czytałem notatkę z wykładu.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
Myślę, że jego sposób udowodnienia, że każda macierz symetryczna ma ortogonalne wektory własne, jest błędny.
Każda pomoc będzie wdzięczna.
Odpowiedzi
Twierdzenie w tym łączu mówi $A$„ma ortogonalne wektory własne” należy określić znacznie dokładniej. (Nie ma czegoś takiego jak wektor ortogonalny, więc mówienie, że wektory własne są ortogonalne, nie ma sensu. Zbiór wektorów jest ortogonalny lub nie, a zbiór wszystkich wektorów własnych nie jest ortogonalny).
Oczywiście fałszywe jest twierdzenie, że dowolne dwa wektory własne są ortogonalne, ponieważ jeśli $x$ jest wektorem własnym, więc tak jest $2x$. Prawdą jest, że wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne. I to jest trywialne: przypuśćmy$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Następnie$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$więc $x\cdot y=0$.
Czy ten plik PDF jest zły? Istnieją poważne problemy z oświadczeniem twierdzenia. Ale zakładając, że tak naprawdę ma na myśli to, co powiedziałem powyżej, dowód jest prawdopodobnie słuszny, ponieważ jest tak prosty.
Rzeczywiście, nie możesz udowodnić, że jest to macierz, która się diagonalizuje $A$ jest ortogonalna, ponieważ jest fałszywa.
Na przykład weź $A=I$(macierz tożsamości). Dowolna odwracalna macierz$P$ diagonalizuje $I$, ale oczywiście $P$ nie muszą być ortogonalne.
Gdyby $A$ ma $n$ różne wartości własne (gdzie $A$ jest $n\times n$), to stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne (patrz odpowiedź Davida C. Ullricha ).
W przeciwnym razie musisz wziąć podstawę wektorów własnych; następnie dla każdej wartości własnej$\lambda$, bierzesz wektory własne w bazie odpowiadającej $\lambda$i ortogonalizuj to. Wtedy otrzymujesz ortogonalną bazę wektorów własnych.
I tak, dowód w notatkach do wykładów jest błędny: używanie $A=I$argument dowodziłby, że każda odwracalna macierz jest ortogonalna, co jest oczywiście fałszywe.