Czy zawsze istnieje funkcja $ f $ dla którego $ Y - f ( X ) $ i $ X $ są niezależne?
Pozwolić $ X $ i $ Y $ być rzeczywistymi zmiennymi losowymi.
Czy zawsze istnieje funkcja $ f $ dla którego $ Y - f ( X ) $ i $ X $ są niezależne?
Próbowałem to udowodnić, ale nie mogłem tego zrobić.
Jeśli instrukcja jest fałszywa, muszą istnieć zmienne losowe $ X $ i $ Y $ takie, że dla każdej funkcji $ f $, $ Y - f ( X ) $ i $ X $nie są niezależni.
Ale nie mogłem też znaleźć takiej pary zmiennych losowych $ X $ i $ Y $.
Byłbym wdzięczny za każdą radę lub wskazówkę!
Odpowiedzi
Nie, ale istnieje plik $f(X)$ tak, że są nieskorelowane.
Dwie zmienne $X$ i $Y$ są niezależne, jeśli rozkład prawdopodobieństwa $Y|X$ nie zależy od $X$. Rozważać$Y|X \sim N(0, X^{2})$, następnie $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ od którego wciąż zależy $X$ do dowolnej funkcji $f$.
Jeśli zdefiniujemy $E[f(X)]$ po to aby $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, następnie $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Na przykład niech$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ być liniowym.
Pozwolić $\Omega = \{a,b,c\}$ być przestrzenią prawdopodobieństwa z trzema wynikami, z których każdy ma prawdopodobieństwo $1/3$. Pozwolić$X = 1_{\{a\}}$ i $Y = 1_{\{b\}}$. Możesz to sprawdzić, jeśli$A,B$są niezależnymi zdarzeniami w tej przestrzeni, to jedno z nich musi mieć prawdopodobieństwo 0 lub 1; w rezultacie dowolna zmienna losowa niezależna od$X$musi być stała. Ale$Y-f(X)$ nigdy nie może być stała, ponieważ z konieczności przybierze różne wartości $b$ i $c$.