Definicja mnożenia w pierścieniach [zamknięte]
Powiedzmy, że mam pierścionek $R=(\mathbb{R}, +, *)$. Jest
$a+a=2*a$
($a \in \mathbb{R}$)
zawsze prawdziwe dla każdego pierścionka¹? (Tak więc, gdy to równanie nie jest prawdziwe, mogę to ostatecznie wywnioskować$R$ nie jest pierścieniem.)
1) Przez „dowolny” rozumiem każdy inny pierścień, który również jest używany $\mathbb{R}$ jako podstawowy zestaw, dziękuję za komentarz.
Odpowiedzi
Jeśli twój pierścień ma jednostkę, tj. Tożsamość multiplikatywną (i definicję, którą prawie wszyscy używają w dzisiejszych czasach https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional), w takim razie tak.
Jak podkreślają komentatorzy, $2$ jest zdefiniowany * jako $1 +1$, gdzie $1$ jest tożsamością multiplikatywną, a więc wynika z prawa rozdzielczego iz tego faktu $1$ to tożsamość multiplikatywna.
Jedyną rzeczą, na którą należy uważać, jest to, że jest to możliwe $ 2 = 0$ (np. w $\mathbb Z_2$), a może $2 = -1$ (np. w $\mathbb Z_3$), więc te „liczby całkowite” wewnątrz pierścienia mogą nie zachowywać się tak, jak się zachowują liczby całkowite.
BTW, jeśli masz do czynienia ze strukturą algebraiczną, która nie ma$1$, ludzie często definiują „działanie” $\mathbb Z$ na swoich elementach i użyj mnożenia, aby to oznaczyć, gdzie
$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$
Edycja: OK, dodałeś „Z„ any ”mam na myśli każdy inny pierścień, który również jest używany $\mathbb{R}$ jako zestaw bazowy ”i należy się tym zająć: Możesz wziąć podstawowy zestaw $\mathbb R$i zdefiniuj nowy zwariowany dodatek i mnożenie na nim. Najprostsze jest to$a \oplus b = a + b -1$ i $a \otimes b = ab - a -b + 2$.
Użyjmy symbolu $S$ do oznaczenia tego nowego pierścienia $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$. Następnie numer 1 w$\mathbb R$ (które napiszę jako $1_{\mathbb R}$) nie jest multiplikatywną tożsamością pierścienia $S$. $1_S$, który jest standardową notacją dla tożsamości multiplikatywnej w pierścieniu o nazwie $S$, Jest w rzeczywistości $2$, przez co mam na myśli dobre stare 2 w dobrym starym $\mathbb R$, które moglibyśmy napisać jako $2_{\mathbb R}$, i tak $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$.
Ale to, o co chodzi, jest nadal aktualne $S$, tj $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; jednak zauważ, że musisz być pewien, że używasz operacji pierścieniowych$S$i przypomnij sobie, że używasz $2_{S}$, który jest zdefiniowany jako $1_{S} \oplus 1_{S}$. (I odpowiada podstawowej liczbie rzeczywistej$3_{\mathbb R}$!)
Pierścień $S$jest oczywiście bardzo mylące w pracy i nigdy nie widziałem go używanego na poważnie, tylko po to, aby złamać mózg licencjackich kierunków matematycznych, aby pokazać im, jak możemy zdefiniować grupy, pierścienie, pola itp., które zachowują się zupełnie inaczej niż to, co Są przyzwyczajeni. To znaczy$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ jest przestrogą, a nie powszechnie używanym narzędziem matematycznym, ale jedynym wymaganiem było to $\mathbb R$był podstawowym zestawem, więc zostawiłeś mi otwartą możliwość zdefiniowania naprawdę dziwnego dodawania i mnożenia. Nie spędzałbym zbyt wiele czasu na zadręczaniu się tym, ale może to być zabawny przykład do kontemplacji i wyostrzenia rozumu.
* Jeśli ktoś używa symbolu „$2$"i mówi, że to nie jest równe $1+1$, możesz spojrzeć na nich zabawnie, zapytać, co u diabła myślą, że robią i zażądać, aby wyjaśnili, dlaczego używają tego symbolu.
Zasadniczo jest to prawdą z definicji, chociaż jest kilka rzeczy, o których powinieneś wiedzieć.
Niektórzy ludzie wymagają, aby każdy pierścień $(R,+_R,\cdot_R)$ zawiera multiplikatywną tożsamość $1_R,$ i ten pierścień homomorfizmów $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ usatysfakcjonować $f(1_R) = 1_S.$ Jeśli potrzebujesz tego warunku, to dla dowolnego pierścienia $(R,+_R,\cdot_R)$ istnieje unikalny homomorfizm pierścieniowy $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ W tym przypadku, nawet jeśli zestaw $R$ nie zawiera dosłownie $2,$ możesz pomyśleć $i_R(2)\in R$ jako istota $2$ (możesz nawet napisać $i_R(2) = 2_R$). To prawda, że dla każdego$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ dlatego $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ Ponieważ JonathanZ obsługuje notatki MonicaC, może tak być $i_R(2)$zachowuje się inaczej niż można by się spodziewać lub wygląda inaczej niż można by się spodziewać. To może być to$i_R(2) = -1_R$ lub nawet $i_R(2) = 0_R$! Zobacz ostatni akapit, aby zobaczyć szczególnie skandaliczny przykład tego.
Jeśli nie wymagasz, aby twoje pierścienie posiadały multiplikatywne tożsamości i / lub że homomorfizmy pierścieni nie muszą wysyłać tożsamości multiplikatywnych do tożsamości multiplikatywnych, to nadal jest to do pewnego stopnia prawdą, chociaż powinniśmy uważać, co mamy na myśli.
Pozwolić $(R,+_R,\cdot_R)$być naszym prawdopodobnie niejednolitym pierścieniem. W tym przypadku nie możemy użyć unikalnego homomorfizmu$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$sprzed - teraz może być więcej niż jeden homomorfizm pierścieniowy! Dodatkowo w komplecie$R$ może nie zawierać $2.$
Więc co robimy? Cóż, pamiętaj, że każdy pierścień ma podstawową grupę abelową$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules (widzieć https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)dla definicji modułu na pierścieniu, jeśli nie jesteś zaznajomiony). Oznacza to wyraźnie, że mamy akcję$\Bbb{Z}$ na $R$która ładnie współgra z dodatkiem. Definiujemy tę akcję poprzez ustawienie $$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ Zauważ, że nie piszę $n\cdot_R r$ - to dlatego, że niekoniecznie istnieje element $n\in R$ który zachowuje się jak $n.$ Jednak nadal rozsądnie jest pomyśleć o dodaniu elementu $r$ Do siebie $n$ razy, czyli co $n\cdot r$oznacza z definicji. Plik$\cdot$ odnosi się do działania $\Bbb{Z}$ na bazowej grupie abelowej $(R,+_R,\cdot_R),$nie mnożenie się w samym pierścieniu. W tym sensie równość $$ 2\cdot r = r+r $$ zawsze obowiązuje, a to jest w zasadzie z definicji!
Ostatnia uwaga. Zapytałeś, czy to prawda w przypadku każdego pierścienia, który ma$\Bbb{R}$jako podstawowy zestaw. Powinieneś być tutaj trochę ostrożny. Rozważ następującą strukturę pierścienia$\Bbb{R}$: $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ To nie jest standardowa struktura pierścienia $\Bbb{R}$- mnożenie jest takie samo, ale dodawanie jest „przekręcone”. W tym przypadku,$2\in \Bbb{R}$, ale to nieprawda $2\cdot' r = r +' r.$ Przypuszczać $r = 2.$ Następnie: $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ Z drugiej strony, $$ 2\cdot'2 = 4. $$ Co się stało? Pozwolę ci pomyśleć o tym osobiście, zanim udzielę odpowiedzi poniżej!
Oto co się tutaj wydarzyło $2\in\Bbb{R}$nie odgrywa już tej samej roli, co wcześniej. Nasz pierścionek$(\Bbb{R},+',\cdot')$ nadal ma multiplikatywną tożsamość, ale nasz pierścieniowy homomorfizm $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ teraz wysyła $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$Jest więc element $(\Bbb{R},+',\cdot')$ który zachowuje się jak $2$ powinien - to jest $\sqrt[3]{2}$. Mamy więc$$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$dla każdego $r\in\Bbb{R}.$ To bardzo zagmatwane, ponieważ już to zrobiliśmy $2\in\Bbb{R}$! W takim przypadku bardzo ważne byłoby dokonanie rozróżnienia między$2\cdot r$ (który jest $2\in\Bbb{Z}$ działając dalej $r,$ dający $r +'r$) i $2\cdot' r$ (co, jak obliczyliśmy, nie jest $r +' r$ogólnie). W notacji z pierwszego akapitu$2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ i $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$.
Aby jeszcze bardziej wyrazić to, co się stało, w dowolnym zestawie $X,$ dowolny pierścień $(R,+_R,\cdot_R),$ i wszelkie bijekcje $f : X\to R,$ możemy dać $X$ strukturę pierścienia poprzez zdefiniowanie dodatku $X$ przez $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ i $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ Zabieramy się za strukturę pierścieniową $R$ i transportuję go do $X$ poprzez bijekcję $f$: najpierw weź swoje elementy $x$ i $y$ w $X,$ wyślij je do $R$ gdzie je dodajesz lub mnożysz, a następnie przywracasz do nich $X.$ W powyższym przykładzie używam bijection $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ który wysyła $x$ do $x^3.$