Definicja znormalizowanej i wewnętrznej przestrzeni produktu

Dec 26 2020

Czytałem kilka stron Wikipedii o normalnych przestrzeniach wektorowych i wewnętrznych przestrzeniach produktów , aw definicjach zawsze mówią o przestrzeniach wektorowych nad$\Bbb R$ lub $\Bbb C$.

Dzieje się tak dlatego, że większość użytecznych normalnych i wewnętrznych przestrzeni produktów się skończyła $\Bbb R$ lub $\Bbb C$ czy też te przestrzenie są zdefiniowane tylko dla przestrzeni wektorowych nad tymi określonymi polami?

Edycja: Po omówieniu tego tematu w komentarzach do tego posta chcę przeformułować moje pytanie:

Pozwolić $V$ być przestrzenią wektorową nad polem $\mathbb F$. Jaki stan powinien$\Bbb F$ zweryfikuj, jeśli chcemy $V$móc być wewnętrzną przestrzenią produktu? A co z unormowaną przestrzenią wektorową?

Odpowiedzi

philip98 Jan 01 2021 at 01:02

Uważam, że to działa na każdym znormalizowanym polu (przynajmniej w znormalizowanej przestrzeni, nie jestem pewien dla wewnętrznych przestrzeni iloczynów, ponieważ potrzebowałbyś jakiegoś uogólnienia dla złożonej koniugacji). Pole znormalizowane$k$ to pole wyposażone w normę $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ takie że

  • $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
  • $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
  • $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Jeśli twoja dziedzina $k$ ma dyskretną wycenę $\nu$ że możesz zbudować normę, definiując $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ dla każdego pozytywnego $a$...

W każdym razie jestem pewien, że Bourbaki poda Ci najbardziej ogólną definicję.

A jeśli chcesz złagodzić stan, na który odpowiada norma $\mathbb{R}_{\ge0}$, Myślę, że jest też sposób, aby to zrobić i po prostu zmapować go do jakiegoś całkowicie uporządkowanego seminarium ...