Dlaczego Cantor jest niepoliczalny [duplikat]
Nie rozumiem, dlaczego zbiór Cantora ma niezliczoną ilość elementów.
Zestaw kantorów $C$zamknięte. Więc$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$jest otwarty i jest policzalnym sumą rozłącznych otwartych przedziałów. Mogę dalej założyć, że mogę zamówić$\{I_n\}$przez ich lewe punkty końcowe, ponieważ jest ich tylko policzalnie wiele. Więc pomiędzy$I_n=(a_n,b_n)$ i $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, musimy mieć $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$. Jeśli$b_n < a_{n+1}$, a następnie zestaw Cantora $C$ składa się z interwału, który jest sprzecznością, tzw $b_n = a_{n+1}$ dla wszystkich $n$, a zatem zbiór Cantora może mieć co najwyżej policzalnie wiele punktów.
Odpowiedzi
Błędem w twoim rozumowaniu jest założenie, że można zamówić policzalny zestaw liczb. Na przykład, rozważ zbiór liczb wymiernych, policzalnych, ale nie można ich uporządkować („porządkowanie” oznacza tutaj wyliczanie w takiej kolejności, że$\alpha_1<\alpha_2<\dots$).
Prostym sposobem stwierdzenia, że zbiór kantorów jest niepoliczalny, jest zaobserwowanie, że wszystkie liczby znajdują się pomiędzy $0$ i $1$ z potrójną ekspansją składającą się tylko z $0$ i $2$są częścią zestawu kantorów. Ponieważ takich sekwencji jest niepoliczalnie wiele, zbiór kantorów jest niepoliczalny.
Mogę dalej założyć, że mogę zamówić $\{I_n\}$ przez ich lewe punkty końcowe, ponieważ jest ich tylko policzalnie wiele.
Nie. Dlaczego myślisz, że możesz? Rozważmy na przykład policzalnie wiele liczb$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ Dopóki istnieje więcej niż jeden punkt akumulacji, nie można oczekiwać, że będą indeksowane według liczb całkowitych.
Mogę dalej założyć, że mogę zamówić $\{I_n\}$ przez ich lewe punkty końcowe, ponieważ jest ich tylko policzalnie wiele.
Zgodnie z tą logiką powinno być również możliwe wyliczenie liczb wymiernych w porządku. Ale to absurd.
Nie rozumiem twojego argumentu wystarczająco dobrze, aby zobaczyć dokładnie, gdzie idzie źle ... Jedno pytanie, które możesz sobie zadać, brzmi: "Czy to pokazuje, że każdy zamknięty zestaw jest policzalny?" Co jest szczególnego w kantorze, który jest tutaj ustawiony? Nie widzę tego.
Rozważmy, dlaczego zbiór kantorów jest niepoliczalny:
Na każdym skończonym poziomie konstrukcji zestawu kantorów „wyrzucamy” środkową trzecią część każdego utworu. Na każdym etapie musimy więc podjąć decyzję: czy idziemy w lewo ? czy idziemy dobrze ?
Np. Zaczynamy w $[0,1]$. Następnie musimy zdecydować się wejść$[0,\frac{1}{3}]$ lub do $[\frac{2}{3},1]$. Powiedzmy, że idziemy w lewo. Teraz mamy wybór wejścia do$[0,\frac{1}{9}]$ lub $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$.
Jak widać, każda policzalna sekwencja wyborów (lewa lub prawa) daje unikalny punkt zbioru kantorów. Co więcej, każdy punkt zbioru kantorów odpowiada takiej sekwencji wyborów. Więc jeśli napiszemy$0$ dla „lewo” i $1$ ponieważ „słusznie, punkty zbioru kantora są w sprzeczności z nieskończonymi ciągami $0$s i $1$s.
Poza tym, struktura topologiczna również się zgadza! Dlatego często można spotkać ludzi nazywających zestaw kantorów$2^\omega$. W języku teorii zbiorów, to w zasadzie tłumaczy się na „nieskończone sekwencje$0$s i $1$s ”.
Ok, ale teraz musi być nieskończenie wiele nieskończonych sekwencji $0$s i $1$s argumentem diagonalizacji . Tak więc zbiór kantorów też jest niepoliczalny.
Mam nadzieję, że to pomoże ^ _ ^