Dlaczego jest $i\epsilon$-zbędna recepta w propagatorze Kleina-Gordona?

Dec 27 2020

Oceniając propagatora Kleina-Gordona, w książce P&S , s. 31, widzę, że zwykle przesuwa się bieguny i dodaje$i\epsilon$w mianowniku. Nie rozumiem, dlaczego jest to konieczne. Dlaczego nie możemy po prostu użyć złożonej analizy? Co jest nie tak w kolejnych krokach?

\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}

Co idzie nie tak, postępując w ten sposób? Nie możemy po prostu przeprowadzić integracji$p^0$ tak jak jest to zrobione dla $z$-zmienna? Oczywiście,$a$ będzie funkcją $\vec{p}$ i $m$.

Odpowiedzi

6 kaylimekay Dec 27 2020 at 20:37

Zauważ, że oryginalna całka, którą próbujesz obliczyć, znajduje się nad rzeczywistą linią, a nie nad zamkniętym konturem, więc twierdzenie Cauchy'ego nie ma zastosowania, dopóki nie znajdziesz odpowiedniego sposobu zamknięcia konturu. Ze względu na obecność czynnika wykładniczego$e^{ibz}$tak jak to napisałeś, kontur można zamknąć w górnej półpłaszczyźnie, jeśli $\mathrm{Re}\, b>0$. Załóżmy, że tak jest. Teraz twoje dwa bieguny znajdują się na rzeczywistej linii, więc musimy również określić, w jaki sposób je ominąć. Ponieważ zamykasz kontur powyżej i podnosisz obie pozostałości, sugerujesz, że przechodzisz poniżej tych dwóch biegunów. Gdybyś minął je ponad nimi, byłyby poza twoim konturem i nie przyczyniłyby się. Ponieważ przechodzisz poniżej swoich dwóch biegunów, możemy równoważnie opisać to, co zrobiłeś, mówiąc, że dwa bieguny są przesunięte w górę na płaszczyźnie zespolonej o nieskończenie małą wartość$+i\epsilon$. To zagwarantuje, że przejdziesz pod nimi, gdy integrujesz się wzdłuż rzeczywistej osi. Więc widać, że ty też faktycznie włączyły niektóre$\epsilon$s w twoich obliczeniach, chociaż tego nie potwierdziłeś.

Do obliczeń w QFT istnieje poprawna fizyczna recepta na to, w jaki sposób obejść bieguny, nazywana receptą Feynmana i różni się od tego, co zrobiłeś powyżej. Jest to dobrze opisane w P&S.