Dlaczego możesz zdeformować kontur w wyrażeniu integralnym dla propagatora Kleina-Gordona, aby uzyskać propagator euklidesowy?
Próbuję zrozumieć użycie funkcji korelacji euklidesowej w QFT. Podążałem za problemami, które miałem, i jak się one manifestują, w najprostszym przykładzie, jaki mogłem wymyślić: dwupunktowym propagatorze równania Kleina-Gordona. VP Nair (strony pdf 57-58) rozpoczyna od propagatora Feynmana dla równania Kleina Gordona,
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Następnie twierdzi, że można zdeformować kontur w taki sposób, że $k_0$ całka idzie w górę po urojonej osi, aby otrzymać
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
w którym momencie zmieniasz zmienne od uzyskania relacji, jakiej chcemy, między propagatorami Minkowskiego i Euklidesa. Nair mówi, że „nie ma przecinania się biegunów całki w tej deformacji” i widzę, że: deformujesz kontur przez prawą górną i lewą dolną ćwiartkę płaszczyzny zespolonej, więc unikaj biegunów. Moim problemem jest co z ćwierćkolistymi konturami w nieskończoności ? Musisz pozostawić punkty końcowe naprawione podczas deformowania konturu, aby uzyskać plik$k_0$całka, aby przejść po wyimaginowanej linii, musimy mieć kontur łączący końce urojonej z rzeczywistą, która znika. Ale z pewnością nie może tak być w przypadku zarówno górnego prawego, jak i dolnego lewego konturu, ponieważ całka ma czynnik$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, który w zależności od znaku $x_0$będą się różnić w obu dużych pozytywnych wyobrażeniach$k_0$ lub duży negatywny urojony $k_0$?
Istnieje nieco inny sposób jazdy przy tym samym problemie. Nair dochodzi do relacji
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
gdzie zdefiniowano propagator euklidesowy
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
Problem polega na tym, że jeśli umieścisz wyimaginowane wartości $x_4-y_4$ do całki definiującej, to otrzymasz wykładniczą dywergencję w $k_4$ całka, więc wynik jest słabo zdefiniowany.
Więc co się tutaj dzieje? Czy brakuje mi czegoś oczywistego, czy też Nair robi jakieś skandaliczne machanie ręką? A jeśli to drugie, czy mógłbyś wskazać mi kierunek ujęcia związku między funkcjami korelacji Euklidesa i Minkowskiego, który nie jest tak matematycznie tak techniczny jak artykuł Osterwaldera i Schradera ? (To wszystko, co udało mi się znaleźć gdzie indziej!) Kiedy próbowałem znaleźć relację w bardziej skomplikowanych i ogólnych przypadkach - na przykład patrząc na funkcję podziału wyrażoną jako całka po ścieżce - myślę, że się potknąłem mniej więcej na tym samym problemie, tej rozbieżności czynnika wykładniczego, więc czuję, że jeśli posortuję to pochodzenie propagatora KG, to reszta powinna się ułożyć.
Odpowiedzi
Jest to być może trochę niejasne ze sposobu, w jaki Nair to napisał, ale ważne jest, aby wykonać oba zamienniki$k_0=ik_4$ i $x^0=ix^4$równocześnie. Dzięki temu właściwości zbieżności oryginalnej całki pozostają nienaruszone.
Zwróć uwagę, że w konwencji Naira istnieje dodatkowy znak, ponieważ zmienia się on z ilości podobnych do czasu do wielkości kosmicznych, które następnie otrzymują inny znak w mnożeniu wektorów $k\cdot x$. Zamiast tego mogłeś to zrobić$k_0\to ik_0$ i $x^0\to -ix^0$pozostawiając je jako ilości podobne do czasu. Jeśli zrobisz to w ten sposób, jasne jest, że po prostu przypisujesz$k_0$ i $x^0$równe, ale przeciwne fazy. Zamiast pełnego$\pi/2$, mogłeś użyć dowolnej fazy $k_0\to e^{i\theta}k_0$ i $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ i jasne jest, że produkt $k_0 x^0$ jest niezmieniony.
Nie wiem, czy Nair to obejmuje, ale to dodanie części urojonej do współrzędnej czasu ma fizyczne znaczenie w teorii zaburzeń. Wprowadza ewolucję niejednolitą, ponieważ operator ewolucji$e^{-i\hat H x^0}$ nie jest już jednolity, jeśli $x^0$ma część urojoną. Ta niejednostkowa ewolucja pozwala automatycznie wyrzucić oddziałującą próżnię z wolnej próżni, umożliwiając w ten sposób budowanie perturbacyjnych przybliżeń wielkości w teorii oddziaływań przy użyciu składników teorii swobodnej. Nie będę próbował opisywać szczegółów w tej odpowiedzi, ale te kwestie są omówione w Peskin & Schroder Rozdział 4, a konkretnie na stronach 86-87 i 95.
Odpowiedź użytkownika kaylimekay jest dokładnie taka, że produkt wewnętrzny $k_{\mu} x^{\mu}$w zasadzie muszą pozostać niezmiennicze w ramach rotacji Wicka , por. np. moja Phys.SE odpowiada tutaj , tutaj i tutaj .
Niestety zasada transformacji $x^0=ix^4$ w Ref.1 jest przeciwieństwem standardowej transformacji Wicka $x^4=ix^0$, por. np. ten post Phys.SE.
To komplikuje sprawę, że ref. 1 używa$(+,-,-,-)$Konwencja znaku Minkowskiego, por. moja odpowiedź Phys.SE tutaj .
Bibliografia:
- VP Nair QFT: A Modern Perspective , 2004; rozdział 4, s. 43-46, równ. (4.13-19).
Sposób, w jaki $G(x,y)$ jest przygotowany do użycia dla liczb zespolonych $x_0,y_0$ polega na użyciu odwrotnej transformaty Laplace'a (zamiast odwrotnej transformaty Fouriera) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ gdzie część wykładnicza zawiera $-k_0(x_0-y_0)$jak widać w transformacie Laplace'a. W ten sposób nie powinno być żadnych przykrych rozbieżności. W rzeczywistości całka może być zawsze przesunięta w odwrotnej transformacie Laplace'a$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ To prawdopodobnie tak, jakby powiedzieć, użyjmy jądra Klein-Gordon i zobaczmy, co możemy znaleźć.
Okazuje się, że wymiana $k_0\leftarrow -ik_0$ w powyższym równaniu daje $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$który jest propagatorem euklidesowym. Tak przynajmniej czuję, jak powinien wyglądać obrót Wicka.