Dlaczego pola wektorowe definiuje się jako sekcje rozłącznego związku przestrzeni stycznych? Czy to nie jest zbyt skomplikowane?
Zwykle definiuje się wiązkę styczną $TM$jako rozłączne połączenie całej przestrzeni stycznej, a następnie do zdefiniowania pól wektorowych jako sekcji\begin{align} TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM=\bigcup_{p\in M}T_pM\times\{p\}&\to M\\ (v,p)&\mapsto p \end{align} (Czytam książkę Johna Lee, w której wektory styczne są wprowadzane jako derywacje, takie że $T_pM\cap T_qM\neq\emptyset$.)
Dlaczego po prostu nie zdefiniujemy $TM=\bigcup_{p\in M}T_pM$ i powiedzmy, że pole wektorowe jest mapą $\omega\colon M\to TM$ z $\omega_p\in T_pM$ dla wszystkich $p\in M$.
Czy nie jest to podstawowa właściwość pola wektorowego : to jest przypisane wszystkim$p\in M$ element $T_pM$?
Analogiczne pytanie pojawia się w przypadku form różniczkowych.
Próba wyjaśnienia pytania: muszę przygotować referat o równaniach Maxwella w kategoriach form różniczkowych i mam słuchacza, który nie wie ani czym jest rozmaitość, ani czym jest tensor. Mam 30 minut na szybki kurs w tym temacie. Oznacza to, że muszę pominąć jak najwięcej informacji, ale chcę, aby wszystko, co mówię, było poprawne. Tak więc jedno pytanie, które sobie zadałem, brzmi: Czy coś przegapię, jeśli nie wyjaśnię, czym są rozłączne związki i sekcje, i po prostu podam im moją definicję powyżej? Czy istnieje dobry powód, aby zdefiniować wiązkę styczną jako rozłączny związek przestrzeni stycznych zamiast zwykłego związku (poza chęcią wprowadzenia pojęcia sekcji)? Ale to są pytania, które zadałem sobie już przed wygłoszeniem tego wykładu.
Odpowiedzi
Są tu dwa główne problemy.
Po pierwsze, jedynym sposobem, aby związek nie był rozłączny i nie miał żadnego sensu, jest założenie, że styczne przestrzenie żyją we wspólnym uniwersalnym zbiorze, co na ogół nie ma miejsca.
Po drugie, nawet jeśli osadzisz przestrzenie styczne we wspólnym wszechświecie, np. Poprzez osadzenie rozmaitości w jakiejś przestrzeni euklidesowej, to tracisz kluczowe informacje, przyjmując regularne połączenie, ponieważ linia między wektorami stycznymi i punktami staje się rozmyta, a punkty żyją odrębnie. mogą zostać zidentyfikowane styczne przestrzenie. Weźmy na przykład pod uwagę styczną wiązkę okręgu osadzonego w$\Bbb{R}^2$, jak na poniższym obrazku:
Biorąc zwykły związek, otrzymujesz podzbiór $\Bbb{R}^2$składający się ze wszystkich punktów zaznaczonych na czerwono jako wiązka styczna. Ale wtedy wszystkie punkty leżące na wielu liniach „zapominają”, do której przestrzeni stycznej należą. Na przykład punkt$(1,1)$ leży w przestrzeni stycznej w $(1,0)$ jak również styczną przestrzeń w $(0,1)$. Dlatego tracisz kanoniczne przypuszczenie$\bigcup_p T_pM \to M$który służy między innymi do wyposażenia wiązki stycznej w strukturę kolektorową. Katastrofa!
Na koniec, aby odnieść się do części, w której wspomina się o polach wektorowych: ważne jest, aby pamiętać, że takie obiekty nie są jedynie częściami mapy opartymi na teorii zbiorów $\bigcup_p T_pM \to M$; są to sekcje ciągłe lub gładkie . Aby to miało sens, potrzebujemy topologii / gładkiej struktury na wiązce stycznej.
Przypuszczać $M \subset \mathbb{R}^n$jest podrozmaitością. Następnie można zdefiniować jego wiązkę styczną jako sumę wszystkich stycznych przestrzeni wektorowych$T_pM$ do $M$ w punktach $p$. Problemem jest to, co należy tutaj rozumieć jako „związek”.
Załóżmy, że definiujesz go jako związek jako podzbiory $\mathbb{R}^n$. Na przykład, jeśli$M = \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$, to w każdym punkcie jest przestrzeń styczna $\mathbb{R}$, więc wszystkie podzbiory styczne są równe tej samej podprzestrzeni $\mathbb{R}$, a mianowicie $\mathbb{R}$, podobnie jak ich związek.
Teraz przypuśćmy $M = \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$. Następnie dowolna linia wektorowa$D$można postrzegać jako styczną przestrzeń punktu koła. Więc tutaj, zwykły związek jako podzbiory$\mathbb{R}^2$ będzie sumą wszystkich linii wektorowych $\mathbb{R}^2$, który jest $\mathbb{R}^2$.
Konstrukcje te są „zewnętrzne”, ponieważ zależą nie tylko od $M$ ale także w przestrzeni otoczenia $\mathbb{R}^n$. Na przykład, jeśli ktoś mówi$M \subset \mathbb{R}^n \simeq \mathbb{R}^n\times\{0\} \subset \mathbb{R}^m$, wtedy można zdefiniować „inny $TM$”, w zależności od punktu widzenia (nawet jeśli będą izomorficzne).
Ale w tych dwóch przykładach, jeśli weźmiesz losowy element związku, nie wiesz, w którym miejscu jest styczny. Tracisz dużo sensu geometrycznego.
Pomysł, aby tego uniknąć, polega na podjęciu rozłącznego związku, a mianowicie $$TM = \bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM.$$Elementem tego związku jest forma$(p,v)$ z $v \in T_pM$, więc każdy element ma w swojej konstrukcji więcej danych niż w poprzednim przykładzie.
W pierwszym przykładzie ta konstrukcja daje $T\mathbb{R} = \bigcup_{p\in\mathbb{R}} \mathbb{R} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$a każdy wektor styczny ma postać $(x,t)$ gdzie $t$ jest styczna do $x$.
Dla kręgu to daje $T\mathbb{S}^1 = \bigcup_{\theta \in \mathbb{S}^1} \{\theta\} \times T_{\theta}\mathbb{S}^1$, Itd.
W przypadku rozmaitości abstrakcyjnej nie ma „przestrzeni otoczenia”, więc zwykłe połączenie przestrzeni stycznych nie może być zdefiniowane jako suma podprzestrzeni tego samego ustalonego zbioru. Dlatego byłaby to zła konstrukcja, ponieważ nie bylibyśmy w stanie jej przedłużyć. Ale rozłączny związek pozwala nam zdefiniować, dla ogólnej różnorodności$M$ która nie jest osadzona w przestrzeni euklidesowej, $$T_pM = \bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM,$$ gdzie $T_pM$ jest nieodłącznym pojęciem w programie $M$, w zależności tylko od struktury różnicowej.
Ponadto konstrukcja ta pokazuje, że istnieje naturalna struktura wiązki włókien w przestrzeni stycznej $TM$ (jest to bardziej ogólna koncepcja), a ta konstrukcja automatycznie zapewnia płynne działanie $\pi : TM \mapsto M$ to tylko projekcja $(p,v) \mapsto p$.
Jeśli ktoś chce zdefiniować pole wektorowe za pomocą idei, że „w każdym punkcie $p$ ma wektor styczny do $p$”, można ją ściśle zdefiniować, używając tej konstrukcji jako ciągłej mapy $X : M \to TM$ takie że $X(p) = (p,v_p)$. To jest równoznaczne z powiedzeniem tego$X$ jest (ciągłą) sekcją $\pi$, to jest $\pi\circ X = \mathrm{id}_M$. Zwykle wymagamy, aby pole wektorowe było gładkie, co oznacza$X$ jest gładka (sekcja gładka).
Edit: Jest to wspólny problem dla geometrów, gdy muszą przemawiać do laików, aby dać jasną prezentację podczas gdy publiczność nie ma pojęcia o podstawowych przedmiotów, których używamy, takich jak kolektory wiązki wektorowe, itd Moje strony doświadczenie jest takie: nie trać czasu na podawanie zbyt skomplikowanych definicji, jeśli naprawdę ważny jest sens geometryczny. Po prostu powiedz, że rozmaitość to pojęcie geometryczne, które może rozszerzyć definicję powierzchni itp. Zdefiniuj wizualnie wektory styczne. Powiedzmy, że pole styczne to pole wektorów stycznych bez mówienia o wiązkach. To samo dotyczy kowektorów. Jeśli musisz mówić o operatorach w pakietach, po prostu porozmawiaj o tym, jak działają na wektorach. Zyskasz dużo czasu, a publiczność prawdopodobnie zrozumie o wiele więcej rzeczy, niż gdybyś wygłosił zbyt skomplikowane, rygorystyczne stwierdzenia.
Jest tu wiele dobrych odpowiedzi, z których wszystkie wyjaśniają pewne części sytuacji. Ale jest jeden ważny punkt, o którym nie wspomniano - w definicji przestrzeni stycznych, której używam w mojej książce Smooth Manifolds, wyprowadzenie zerowe jest elementem$T_pM$ dla każdego $p\in M$, więc jeśli nie użyjesz połączenia rozłącznego w definicji wiązki stycznych, wszystkie przestrzenie styczne będą się przecinać. Zobacz także tę odpowiedź .
To tylko przepisywanie tego, co zostało napisane kilka razy, ale kiedy $M\subset \Bbb R^N$, następnie $$TM = \{(x,v): x\in M, v\in T_xM\}\subset M\times\Bbb R^N.$$Jest twój wszechświat. Oczywiście dla abstrakcyjnej rozmaitości nie ma to sensu, ponieważ nie ma sensownej rzeczy, którą można by zastąpić$\Bbb R^N$.
Oto wyjaśnienie, które będzie pasowało do czasu przeznaczonego na Twój szybki kurs:
Fizycy powiedzą kiedyś, że dwa wektory są takie same, jeśli wskazują ten sam kierunek i mają ten sam punkt bazowy.
Ponieważ abstrakcja, którą matematycy przyjęli dla wektorów, nie obejmuje punktu bazowego, "$\times \{p\}$„w ten sposób określają każdy wektor za pomocą jego punktu bazowego. Nawiasem mówiąc, prawdopodobnie w ten sposób również podchodzą do tego programiści.