Dlaczego przesunięcie odwracalnego snopa na BG do jego zgrubnego schematu nie jest odwracalne?
Moje pytanie naprawdę dotyczy konkretnego przykładu. Pozwolić$G = \mu_2$ być grupą cykliczną rzędu 2. Niech $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, i pozwól $BG := [*/\mu_2]$ iloraz stosu, gdzie $\mu_2$ działa trywialnie $*$. Pozwolić$\mathcal{O}_{BG}$ oznacz snop struktury i niech $L$ oznaczają odwracalny snop $BG$ odpowiadające nietrywialnej reprezentacji $\mu_2$ na $\mathbb{C}$. A zatem,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$i działanie $\mu_2$ na $*\rightarrow BG$ wywołuje działanie odwracające $\mu_2$ na $\mathbb{C}$.
Pozwolić $c : BG\rightarrow *$oznaczają mapę kanoniczną do jej zgrubnego schematu. Słyszałem, że jeśli$L$ oznacza odwracalny snop $BG$ podane przez nietrywialną reprezentację $\mu_2$ na $\mathbb{C}$, następnie $c_*L$ nie jest odwracalna na $*$. Jednak zgodnie z definicjami (patrz poniżej) wydaje się, że$c_*L$ jest rzeczywiście odwracalny na $*$. Gdzie popełniłem błąd?
Zgodnie z definicją pushforward, uważam, że sekcje globalne $c_*\mathcal{O}_{BG}$ powinien być równy limitowi
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ gdzie granica obejmuje wszystkie morfizmy $f : *\rightarrow BG$ dogadzający $c\circ f = \text{id}_*$. Ponieważ grupa automorfizmów$*\rightarrow BG$ działa trywialnie $\mathcal{O}_{BG}$, to tylko granica diagramu dwuobiektowego $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, czyli tylko przekątna w $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Podobnie globalne sekcje $c_*L$ powinno być granicą diagramu dwóch obiektów $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, czyli po prostu zestaw par $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
Działanie $c_*\mathcal{O}_{BG}$ na $c_*L$ powinno być skoordynowanym działaniem mnożenia diagramu $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ na schemacie $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Tj. Na sekcjach globalnych akcja$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ powinien zostać podany przez $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. To wydaje się działać$c_*L$ w odwracalny snop $*$, ale słyszałem, że to nieprawda. Gdzie popełniłem błąd?
Odpowiedzi
Naprzód $c_{\ast}L$ powinno być granicą diagramu z jednym obiektem "$\mathbb{C}$„i dwie (auto) morfizmy”$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$" i "$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; innymi słowy, jest to korektor $\mathrm{id}$ i mnożenie przez- ($-1$); a więc w rzeczywistości$c_{\ast}L = 0$.
Bardziej ogólne stwierdzenie brzmi: pod korespondencją między quasi-spójnymi $\mathcal{O}_{BG}$-moduły i $G$-reprezentacje, funktor pushforward $c_{\ast}$ odpowiada $G$-invariants functor.
Jeśli wymienimy $\mathbb{C}$ przez pole o charakterystyce 2, wtedy musielibyśmy być ostrożni - na ogół quasi-koherentne $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-moduły są $\mathbb{Z}/(2)$-reprezentacje i quasi-spójne $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-moduły są $\mathbb{Z}/(2)$- stopniowane przestrzenie wektorowe (pushforward tutaj odpowiada stopniowi $0$ stopniowany komponent).