Dlaczego równania Maxwella nie są przesadzone? [duplikować]

Question

Rozważmy cztery równania różniczkowe w tabeli podanej tutaj na Wikipedii i załóżmy, że w żadnym momencie nie ma rozkładu ładunku, a zatem również prądu. Jeśli nie ma ładunku, cztery równania sprowadzają się do następującego:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

Ostatnie dwa równania mówią nam, jak zmieniają się odpowiednio pola magnetyczne i elektryczne w czasie, zatem mając pewne początkowe pola magnetyczne i elektryczne, należy być w stanie określić przyszły stan obu pól. To sprawia, że ​​pierwsze dwa równania wydają mi się zbędne, a zatem system wydaje się zbyt zdeterminowany. Są jednak wyraźnie potrzebne, więc chyba czegoś mi brakuje. Czy pierwsze dwa równania to po prostu warunki początkowe?

Answer 1

Pierwsze dwa równania Maxwella opisują statyczne pola elektryczne i magnetyczne. Z tych równań dowiadujemy się o właściwościach geometrycznych takich pól oraz o naturze linii sił wytwarzanych przez te pola. Pierwszy (gdy jest ładunek)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

prowadzi nas do określenia postaci pola elektrycznego dla dowolnego rozkładu ładunku. Jest to niezwykle ważne w badaniach nad elektrostatyką. Ponadto równanie to można wykorzystać do wyprowadzenia równania Poissona,

$$\nabla^2 V = -\rho$$

co pozwala nam określić potencjał elektrostatyczny $V$dla różnych rozkładów opłat. Możemy również użyć powyższego równania Maxwella, aby wyprowadzić prawo Coulomba (chociaż to prawo niekoniecznie jest bezpośrednim wynikiem tylko tego równania). Równanie Poissona jest również bardzo potężnym narzędziem w badaniach elektrostatyki. To równanie ma również potężne zastosowania w fizyce półprzewodników.

Drugie równanie, o którym wspominasz,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

mówi nam coś bardzo ważnego, a mianowicie, że monopole magnetyczne nie istnieją. Matematyczna implikacja tego równania jest taka, że ​​musi istnieć magnetyczny potencjał wektorowy$\vec A$ gdzie

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

To potężny wynik matematyczny. Ten potencjał wektora magnetycznego jest wszechobecny w klasycznej elektrodynamice i elektrodynamice kwantowej.