Dowód przez indukcję - czy to prawda?
Dowód indukcji, że: dla wszystkich $n\in \mathbb{N}$, $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ jest wielokrotnością $3$.
Myślę, że zaszedłem dość daleko, ale nie wiem, czy to prawda / jak mam kontynuować. Moja praca:
Podstawowy przypadek: pokaż to $n=1$ trzyma: $7^2 + 2^3 = 57$ i $3|57$ więc $n=1$ trzyma.
Zakładać, że $n=k$ trzyma: $7^{2k}+2^{(2k+1)}$.
Udowodnij to $n=k+1$ trzyma: $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$
Zmieniłem to, aby było w tej samej formie co $n=k$ i dostał $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$.
Następnie uprościłem to i przestawiłem na $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$.
Usunięcie wielokrotności $4$ daje $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ i od tego czasu $(7^{2k} +2^{2k+1})$ jest wielokrotnością $3$, Niech to wyrówna $3m$ więc jest to $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$.
Wreszcie wyjąłem wielokrotność $3$ dostać $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ czyli wielokrotność $3$, stąd stwierdzenie zachowuje się przez indukcję.
Czy mój dowód jest całkowicie poprawny? Czy był łatwiejszy sposób, w jaki mogłem to zrobić?
Odpowiedzi
Twój dowód jest poprawny, ale zbyt szczegółowy. Dlaczego po prostu nie zapisać $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ i gotowe.
Ponieważ poprosiłeś o łatwiejszy sposób (i zakładając, że musisz użyć indukcji), rozważ użycie arytmetyki modularnej:
Do obudowy podstawowej dla $n=1$ mamy $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$
Następnie $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ hipotezą.
Chociaż jest to trochę wymyślone, ponieważ w tym przypadku można to zrobić bez konieczności osobnego sprawdzania obudowy podstawowej.